Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
2) Из тождества (3) следует, что S2(x) <1 и С2(х) <1 при любом х е R.
Отсюда, извлекая корень, имеем |?(х)|<1 и |С(х)|<1 и при любом xeR
функции iS(x) и С(х) ограничены на R.
(6)
т.е.
3) На основании (1) рассмотрим следующие тождества:
S(y) = S
S(x) = S
гх + у + у-хл
2
у + х
2
х-у
= S
у v
Л г
= S
х + у
У-
\
С
С
у-х
¦У
+ с
+ с
х + у 2
у + х
у-
2
4^-
I 2
Отсюда в силу утверждения 1) получим
S(y)-S(x) = 2C Аналогично на основании (2) будем иметь
^х + у' S fу-хЛ
1 2 ) ч 2 у
(7)
2 S ( х+И S fy-x]
1 2 J I 2 J
Теперь докажем непрерывность функций S (х) и С(х). Из условия (5) вытекает непрерывность S (х) в точке х = 0 справа, так как lim S(x) = 0 = 5(0). В силу нечетности функции S (х) следует, что она
jt-»0+0
непрерывна в точке х = 0 и слева. Итак, функция S (х) непрерывна в точке х = 0, то есть lim S(x) = S(0) = 0.
jt-»0
Пусть х любая, но фиксированная точка R и у —> х . Тогда из равенства
(7), в силу ограниченности функции С и непрерывности функции S в нуле, получим
lim [S(y) -<S(x)] = 2 lim
y->x y~>x
с
Х + .У
У-х
= 0.
Отсюда limS(.y) = S(x), что означает непрерывность функции С в точке х.
у—>х
Аналогично из равенства (8) следует непрерывность функции С в точке х.
4) В формуле (7) положим у = х + 2л. Тогда
iS(x + 2^)-iS(x) = 2С(х + л) Sty) = О,
так как
Sty) = S
^ л лЛ
-----1---
v 2 2
= S
гг СЫ
+ С
Гс
л
2
= 0.
Следовательно, для любого xeR : Б(х + 2л) = S(x), что и означает периодичность функции S (х) с периодом 2л. Аналогично, полагая в формуле
(8) у = х + 2л, получим С(х + 2я") = С(х) при любом xeR.
5) Из условий (4), (5) и непрерывности функции S (х) следует, что на
функция S(x) > 0. Поскольку
S (л - х) = S (л) С(-х) - С(л) S (х) = S (х), л
~г'я,
функция iS(x)>0. В силу равенства S(2л-х) = S(-x) = -S(x) следует, что при всех х е (л, 2л) функция S(x) < 0.
то на полусегменте
функция 5'(х)>0. Итак, при всех хе(0,л)
fл Л
----X
2
Из равенства S
V ^ У
Л
С(х)>0 и при всех хе -
V ¦
= С(х) следует, что при всех хе
О,
л
3 n' (Л ' ^ л'
функция C(x) = iS' --X = -S X--
2 j v 2 , v 2 y
функция
<0.
На промежутке (Зтг/2, 2п\ функция С(х) = С(-х) = С{2п-х) > О.
Тем самым задача 1 полностью решена.
Задача 2. Пусть существуют функции S (х) и С(х), удовлетворяющие условиям (1) - (5). Доказать, что они определяются единственным образом.
Решение. Поскольку функции S(x) и С(х) периодичны с периодом 2п ,
то достаточно показать справедливость задачи 2 на сегменте [о, 2я\. Сначала докажем, что значения функций S(x) и С(х) определяются однозначно на
множестве точек X = j^Tj> где я и /? - целые неотрицательные числа, причем р < 2n+l. Из тождеств (2) и (3) имеем:
С(х) = С
С f \ = С2 -S2
X X
--1--
U 2 J U,
Отсюда
1 = с2 м + S2 fx \
v2, /
с2 м 1 + С(х) { х^ 1 -С(х)
S2
2 \ X 2
Подставляя вместо х сумму х + у и применяя формулу (2), получим
х + у
х + у
1 - С(х + у) 1 - С(х)С(у) + S{x)S(y),
2 2
1 + С(х+у) 1 + С(х)С(у) - S(x)S(y)
(9)
2 2 Из зтих формул вытекает, что если известны значения функций S и С в
х + у
точках х и у, то значения зтих функций в точке
определяются
единственным образом, так как в силу утверждения 5) задачи 1 известны знаки функций S и С в каждой точке [0,2п\. Тогда, исходя из известных и единственным образом определенных значений S(x) и С(х) в точках
Ж
0,—,тг,2п сегмента [0,2п\% можно по формулам (9) последовательно и
единственным образом найти значения функций S(x) и С(х) во всех точках множества X. Поскольку множество X всюду плотно в [0,2л], то в силу непрерывности функций S(x) и С(х) значения зтих функций единственным образом определяются и в остальных точках сегмента [0, 2тг]. В самом деле, пусть а - любая точка из [0,2п~\ \ X. Тогда в силу плотности множества X в [0,2тг] существует последовательность точек х„ е X, такая, что х„ а при
