Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
промежутке R+. Тогда на основании непрерывности показательной функции и теоремы о непрерывности сложной функции существует конечный предел
\imf(ar") = f (Yima") = f (аг). (9)
Л-»оО /*-» QO
С другой стороны на основании равенства (8) имеем
lim/(ar") = lim[/(a)]r" = [f(a)Y. (10)
П—>00 п—>00
Из (9) и (10) в силу единственности предела вытекает справедливость равенства (3).
В равенстве (3) произведем замену : ау = t> 0, у = log01. Тогда
f(t) = blog”' = (alog“*) log“'= (alog“') log“* = f.
Тем самым доказано равенство (4).
Задача 4. Функция /(х) на промежутке R+ является решением
функционального уравнения (1) тогда и только тогда, когда функция
<P(S) = f (а*). а е R+, является решением уравнения
<p(s + t) = <p(s)-<p(t) (11)
при всех s и t из R .
Решение. Пусть / на R+ является решением уравнения (1) и х и у -произвольные положительные действительные числа. Тогда для любого а > 0 и а*1 существуют единственные действительные числа s и t, такие, что х = as и у = а‘. Рассмотрим функции :
/ О) = f(as) = <P(s) - /М = / (а‘) = (p(t),
f(x-y) = f(as ¦a,) = f{as+,) = (p(s + t).
Поскольку функция / является решением уравнения (1), то
<p(s + t) = q>(s) (p(t).
Отсюда вытекает, что (p(s) = /(as) является решением уравнения (11).
Теперь пусть функция (p(s) является решением функционального уравнения (11) \л s \л t - произвольные действительные числа. Тогда при любом а > 0 и а*1 существуют единственные положительные числа х и у , такие,
что s = loga х и t = loga у . Определим функцию /(х):
<p(s) = <p(loga х) == Дх). Тогда <p(t) = q>(loga у) = f (у),
<p(s + t) = <pQo%ax + \ozay) = q>Qo%axy) = f(xy) и в силу равенства (11)
f{x-y) = fix) f (у).
Отсюда видно, что функция /(х) = ^(log0 х) является решением уравнения (1).
Теорема. Для произвольных положительных действительных чисел а*1 и b * 1 существует единственная функция /, определенная на
промежутке R+ и удовлетворяющая следующим условиям:
1) f непрерывна в точке х = \;
2) / на R+ является решением функционального уравнения (1 );
3) f(a) = b.
Эта функция имеет вид : f(x) = xa,a = logfl b.
Доказательство. Единственность решения. Пусть существуют две функции / и g, удовлетворяющие условиям 1)-3) теоремы. Тогда на основании задачи 3
/(0 = S (0 = (а ПРИ всех t > 0, где а = log0 b. Существование решения. Для обоснования существования функции /, удовлетворяющей условиям 1) - 3), воспользуемся задачей 4. В § 1 было показано, что функциональное уравнение (11) при любом Ь> 0 и Ьф 1 имеет единственное непрерывное на R решение (p(s) = bs. Тогда в силу задачи 4 функция
/(х) = <р(\oga х) = blog°x = (alog°b)log°x= (alos“x) log“6= x“ является на R+ решением функционального уравнения (1), непрерывна на R+ (как композиция двух непрерывных функций <p(s) и s = logax) и
/(a) = aa = aXoZab = b. Теорема 3 полностью доказана.
На основании этой теоремы можно сформулировать следующее определение степенной функции.
Определение. Пусть а и Ъ - заданные положительные числа и а ф1 и Ьф 1. Степенной называется функция f, определенная на R+ и удовлетворяющая следующим условиям:
1) / непрерывна в точке х-\;
2) / на R+ является решением функционального уравнения (1 );
3) f(a) = b-
Она обозначается символом f{x) = xa, a- loga b.
Отметим, что из рассмотренных выше задач 1 - 4 вытекают все свойства степенной функции.
§ 4. Функциональное уравнение, определяющее линейную функцию
Рассмотрим уравнение
/О + У) = /(*) +/О). 0)
где функция / (х) определена на R .
Задача 1. Пусть функция / (х) определена на R и удовлетворяет уравнению (1) при всех х, у е R . Доказать, что
а) /(0) = 0, б) / (-х) = -/ (х),
в) f(r) = г /(1), г - любое рациональное число.
Решение. Пусть / на R является решением уравнения (1).
а) В тождестве (1), полагая у = О, имеем /(0) = 0.
б) Из тождества (1) при у--х следует, что / (-х) = -/(х) .
в) Методом математической индукции нетрудно доказать справедливость равенства
/(х, + Х2 +... + хл ) = /(х,) + /(х2) + ... + /(хп) (2)
при любом натуральном и > 2. Из (2) при хх = х2 = ... = хп = х имеем
/(их) = и/(х), neN. В силу нечетности / и равенства (3) имеем
/(-их) = -и/(х), neN. Итак, для любого целого числа к справедливо равенство
f(kx) = kf(x).
(3)
(4)
В равенстве (3) х заменим на —.Тогда
и
