Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
л:
/
/
>+*
/г
/г
/г
h
(2)
По условию функция f(x) дифференцируема в точке jc = 1, поэтому из (2) получим
Г h\
f
1 + -
V X
f'(x) = lim = — lim
0 h x h—tO h
= 1итЛ1±0
x t-*о t
sitaiM)aln D.
X t X
Таким образом, функция f дифференцируема в точке х и ее производная равна
/Чх)=-/'(1)=-, с=Г(1)
X X
Отсюда следует, что функция / дифференцируема любое натуральное
число раз при х>0. При этом производная п - го порядка находится по формуле
^.(-ц-о^лв, о,.,.
Задача 3. Пусть функция / непрерывна в точке х = 1 и на промежутке (0, +оо) является решением уравнения (1). Доказать, что для любого х>0 и любого ц е R справедливо равенство
/(*") = /* fix). (3)
Решение, а) Равенство (3) при ju = n е N следует из равенства
/О, -*2 •... •*„) = /01) + /02)+ ...+/(*„), (4)
которое на основании (1) доказывается методом математической индукции.
Тогда, полагая в (4) х, = х2 = ... = хп = х > 0, получим
/(*") = л/(*)¦
б) На основании задачи 1 имеем
f(x°) = f(\)=0 = 0f(x) .
/(*"') = /f-l = -/(*) = (-!)/«>
\xj
/0~") = /[(*“')" ] = n Л О"1)] = -n f О). Итак, для любого целого ц справедливо равенство (3).
в) Пусть /и = —, пе N. Тогда
п
( 1 > Г О я ( 1 ^
---п
II X" =/ X" = л/ Xя
<
V / V / V )
Отсюда
/
( Л
X V J
=-/(*)¦
п
т
г) Пусть ц = — eQ, те Z, neN .В этом случае п
— f(x) = m-f(x) = mf п п
( О Г т ^ m ^
X" =/ Xя =/ X”
V ) V J V /
д) Если n = aeJ, т.е. // является иррациональным числом, то существует последовательность рациональных чисел гп, такая, что гп —» а. По условию функция / непрерывна в точке х = 1. В силу задачи 2 она непрерывна на промежутке (0, + оо). Тогда в силу непрерывности показательной функции и функции / на (0, + оо) имеем
lim/(xr”) = /(х“), (5)
с другой стороны
lim / (xr") = lim rn f(x) = a f (х). (6)
Г„-?СС
Из (5) и (6) следует справедливость (3).
Теорема. Для каждого действительного числа a > О и а Ф1 существует единственная непрерывная в точке х = 1 функция f{x),
удовлетворяющая уравнению (1) при всех х и у из промежутка (0, + оо) и
условию f(a) = 1. Этой функцией является логарифмическая функция /(*) = log„x.
Доказательство. Единственность решения. Пусть существуют две непрерывные в точке х = 1 функции f(x) и g(x) , удовлетворяющие уравнению (1) на (0, + со) и условию f(a) = g(a) = 1. На основании задачи 2 функции f(x) и g(x) непрерывны на (0, + со). Как известно, для любого t е R
показательная функция а‘ > 0 ив силу ее непрерывности принимает значения от 0 до + со , если t пробегает множество действительных чисел. Тогда в силу задачи 3 для t е R
f(<*‘) = t-f(a) = t и g(a‘) = t-g(a) = t.
Отсюда следует, что f(x) = g(x) при х > 0 и функция f (х) является
обратной для показательной функции ах.
Существование решения. Из теоремы единственности следует, что если функция f(x) непрерывна в точке х = \, удовлетворяет на (0, + со)
функциональному уравнению (1) и f(a) = 1, то f (х) является обратной для
показательной функции х = a , t е R . Поскольку показательная функция строго монотонна на R , то для нее существует обратная функция, которая называется логарифмической и обозначается
f(x) = \ogax. (7)
Покажем, что функция (7) удовлетворяет функциональному уравнению (1). Пусть х и у произвольные положительные действительные числа. Тогда существуют единственные действительные числа t и s, такие, что
t = log0x и s = log0j/ и по определению логарифмов
х = а и у = as,
причем
log0x = log aa‘=t, log0 j/ = log0as =5,
а‘=а1о*°х=х, as = alos°y = у.
На основании того, что показательная функция удовлетворяет уравнению (1) из § 1,имеем
=х.у = а‘.а'= = + «“в., _
Отсюда, поскольку показательная функция строго монотонна, следует
log„x-^ = log0x + logay„ (8)
т.е. функция (7) является решением уравнения (1) при всех х и у из промежутка
(0,+ со).
