Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
r = —, s = -, p,teZ, qeN.
Надо доказать, что
а4 а4 =а
p+t
я
или на основании определения (5)
II 1
{ар)я {а‘)ч={ар+‘)9. Обе части соотношения (7) возведем в q - ю степень :
(6)
(7)
Р\Я
(ар)
я
(а1)
= арм
= ара* =ap+t,
Отсюда, поскольку q-e степени обеих неотрицательных левой и правой частей соотношения (7) равны, следует справедливость равенства (7).
Пусть а - любое иррациональное число. Тогда существуют
последовательности рациональных чисел гп, сходящиеся к а. В этом случае
можно показать, что последовательность чисел аг" также сходится.
Под символом аа будем понимать предел последовательности чисел а"
Заметим, что определение (8) не зависит от выбора последовательности гп, сходящейся к числу а .
Докажем, что функция f(x) = ax при всех xeR является решением уравнения (1). Пусть х и у - произвольные действительные числа. Тогда существуют последовательности рациональных чисел г'п и г", такие, что г'п —> х и г” у . В силу определения (8) существуют конечные пределы
На основании (10), (6), (9) и свойства пределов последовательностей, имеем
Тем самым доказано, что функция f(x) = ax удовлетворяет функциональному
уравнению (1). Можно также показать, что функция ах, определенная по правилам (5) и (8), непрерывна в точке х = 0. Тогда в силу задачи 2 она непрерывна на всей числовой прямой.
Единственность. Пусть g(x) - непрерывная в нуле функция,
удовлетворяющая уравнению (1) при всех х и у из R и условию (4). Тогда в
силу задачи 3 функция g(x) = aх. Следовательно, функции /(х) = g(x) = ах.
Таким образом, на основании изложенного можно дать следующее определение показательной функции.
Определение. Показательной функцией с основанием а, а > 0, аФ\, называется функция f, непрерывная в нуле, удовлетворяющая функциональному уравнению (1) при всех х и у из R и условию (4). Она обозначается символом f (х) = ах.
§ 2. Функциональное уравнение, определяющее логарифмическую
функцию
Рассмотрим функциональное уравнение
и изучим свойства его решений. Прежде всего заметим, что если точка х = 0 принадлежит области Df определения решения / уравнения (1), то функция
f(y) = 0 при всех yeDf. Поскольку мы рассматриваем нетривиальные
решения уравнения (1), то ясно, что точка 0 g Df .
limar'' = ах , limа"=ау
(9)
(10)
f(xy) = f(x) + f(y)
(1)
Задача 1. Пусть функция Дх) при хфО является решением уравнения (1). Доказать, что:
а) Д1) = /(-!) = О,
в) /
( \ х
= fix) - /(У) ¦
б) / - = -fix) ,
\х)
Г) fi-x) = fix) .
Решение. Пусть функция f(x) при х*0 является решением уравнения (1). Тогда равенство (1) выполняется при всех х,у е R\{ 0}.
а) Полагая в тождестве (1) х = у = 1, получим
Д1) = Д1) + Д1) = 2Д1) или Д1) = 0.
На основании последнего равенства, из (1) при х = у = -1 имеем
Д1) = Д-1) + Д-1) = 2Д-1) = 0.
1
б) Из тождества (1) при у = — будем иметь
х
fix-y) = f
х —
Отсюда
= fix) + f f
или Д1) = Дх) + /
\Л/
-0.
\л/
= -fix) ¦
1
в) Заменяя в (1) у на — с учетом доказанного выше свойства б), получим
/
f \ х
\У)
f
У.
= fix) + f
УУ)
=т-т-
г) На основании (1) имеем
fi-x) = fix ¦ (-1)) = fix) + /(-1) = fix) .
Свойство г) означает, что решения уравнения (1) обладают свойством четности на множестве i?\{0}. Поэтому в дальнейшем уравнение (1) будем
рассматривать при х > 0.
Задача 2. Пусть функция Дх) является при х>0 решением уравнения (1). Доказать, что если:
а) / непрерывна в точке х = 1, то она непрерывна в любой точке х > 0;
б) / дифференцируема в точке х = 1, то она дифференцируема в любой точке х > 0.
Решение. Пусть х - любое положительное число, h^0,x + h>0.
а) Составим приращение функции / в точке х
A/W = fix + h)- fix)
и покажем, что Д f{x) —> 0 при /г —> 0. А это будет означать непрерывность функции / в точке х. Действительно, в силу задачи 1 имеем
f{x + h)-f{x) = f
x + h
= f
1 +
h
Отсюда на основании непрерывности функции / в точке х = 1, получим
( h\
ИтД f{x) = lim / 1 + - =/( 1) = 0.
V х)
Л-> о
б) Составим отношение
А—>0 '
А /О) f(x + h)-f(x)
f
С
i+*
