Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
= JJ (a,N)dudv= JJ (a,[ru,r0\)dudu =
D D
= Я {a,ru,r0)dudu= JJ
P Q R
X V Z
и у и и
X v z
О ? L> V
dudo.
Отметим, что введенные нами понятия поверхностных интегралов для простых гладких поверхностей переносятся на более широкий класс кусочногладких поверхностей. Поверхность S называется кусочно-гладкой, если ее
можно разбить на конечное число простых гладких поверхностей Sk, к = 1,п,
п п
не имеющих общих внутренних точек и = mS = ? mSk . Тогда
i=l k=l
поверхностный интеграл от непрерывной на S функции f(x,y,z)
определяется равенством
JJ/О, у, z)dS = X JJ/0> У>2) dS.
S к=1 sk
4. Интегральные теоремы Остроградского - Гаусса и Стокса. Условия потенциальности векторного поля в пространстве
Пусть в области QczR3 определено дифференцируемое векторное поле
а. Если в R3 введена декартовая система координат, то
а (х, у, z) = (Р(х, у, z), Q(x, у, z),R(x, у, z)).
Определение 8. Дивергенцией векторного поля а называется следующая скалярная (числовая) функция:
Л- Ч /Х~7 -ч дР dQ dR
diva(x,y,z) = (V,a) = — + — + — ,
ox dy oz
, п г 3 -5 - 3
где v = i-----1- j---к-------оператор набла или Гамильтона.
дх ду dz
Определение 9. Вихрем или ротором векторного поля а называется вектор
к
rot a -- [V, a\
J
д
= (Ry-Q„p,-*„ac-Py)-
дх dy dz Р Q R
Теорема 1. Пусть G - ограниченная односвязная замкнутая область
пространства R3, граница которой есть кусочно-гладкая поверхность S, ориентированная внешними нормалями. В этой области задано непрерывно
дифференцируемое векторное поле а = (P,Q,R). Тогда поток векторного поля а через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от div a по области G, т.е.
||(а, n)dS = HI div a dG (24)
или
— (dP dQ dR) , , ,
+ ——I------dxdydz . (25)
\\Рdy dz + Qdz dx + Rdxdy= JJJ
s G {дх dy dz
Формула (24) или (25) называется формулой Остроградского - Гаусса. М.В. Остроградский опубликовал эту формулу в 1828 г. Эта формула была также получена Ф. Гауссом, но значительно позже, в 1841 г.
Формула (25) подобно формуле Грина может быть обобщена на многосвязные области.
Формула (24) находит многочисленные приложения в разных областях науки. Например, исходя из этой формулы, можно получить формулу для вычисления объема кубируемого тела G . Так, полагая Р = х, Q = у, R - z , из формулы (25) получим
mG = - \\xdydz + ydzdx + zdxdy.
3 S
В некоторых случаях на основании формулы (25) вычисление поверхностных интегралов второго рода можно свести к вычислению тройных интегралов или наоборот.
Пример 10. Вычислить интеграл
J = ^y2zdydz+x2zdzdx + x2ydxdy, s
взятый по внешней стороне кусочно-гладкой замкнутой поверхности S .
Решение. В данном случае P = y2z, Q = x2z, R = x2y. Вычислим ,. - dP dQ dR A т
diva =-----1----1----= 0. Тогда применяя к области G , ограниченном данной
dx dy dz
поверхностью S , формулу (25), получим J = 0 .
Исходя из формулы Остроградского - Гаусса можно получить независимое от выбора системы координат определение дивергенции векторного поля a .
Пусть в области G задано непрерывно дифференцируемое векторное поле a (М), М е G . Пусть М0 е G и D - односвязная область с кусочногладкой границей S такая, что М0 е D и Z)cG. Тогда
diva(M0) = lim—— ff(a, n)dS , (26)
d^° mD
где d - диаметр области D. Действительно, применяя формулу (24) к области D и пользуясь теоремой о среднем для тройного интеграла, найдем
JJ(a, n)dS = div a (M) mD, M e D .
s
Отсюда при d -» 0 получим равенство (26).
Правую часть равенства (26) можно принять за определение diva. Это определение не зависит от выбора системы координат, так как поток векторного поля а не зависит от выбора системы координат.
Точки векторного поля а, где diva* 0, называются источниками или стоками. Если векторное поле а есть векторное поле скоростей движущейся жидкости и diva (Л/) > 0, то точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, а при diva (М) < 0 точка М - сток, куда жидкость втекает. Иначе говоря, в точках векторного поля а с положительной дивергенцией векторные линии поля а начинаются, в а точках поля а с отрицательной дивергенцией - кончаются. Например, в электростатическом или магнитном поле источниками будут соответственно положительные заряды или северный полюс магнита, а стоками - отрицательные заряды или южный полюс. Напомним, что кривая L, лежащая в области G, называется векторной (силовой) линией векторного поля а, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направлением вектора а в этой точке. Векторные поля a, у которых div a = 0, называются соленоидальными, или трубчатыми. Такие поля не имеют ни источников, ни стоков.
