Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл (19) не зависит от выбора параметрического задания поверхности S. Поскольку интеграл (19) определяется на основании двойного интеграла, то все свойства двойных интегралов переносятся на поверхностные интегралы первого рода. Здесь только подчеркнем, что интеграл (19) не зависит от ориентации поверхности S .
Отметим, что интеграл (19) можно было определить как предел интегральной суммы.
Поверхностный интеграл первого рода используется в физике. Если, например, неотрицательная функция f(x,y,z) является плотностью массы, распределенной по поверхности S, то интеграл (19) выражает массу данной
материальной поверхности S. Если f(x,y,z) - плотность распределения электрических зарядов, то интеграл (19) выражает суммарный заряд поверхности S. Поверхностные интегралы первого рода используются также для нахождения центра масс, момента инерций относительно осей и начала координат материальных поверхностей.
Пример 8. Найти массу однородной материальной полусферы
х2 + у2 + z2 = R2, z > 0 с плотностью р .
Решение. Как и в примере 2, переходя к сферическим координатам, найдем массу:
-------- л/2 х/2
т = \\pdS = р\\4EG - F2 d(p dO = AR2р \d<p Jsin<9 d9 = In R2p .
S D 0 0
3. Поверхностные интегралы второго рода
Пусть S - простая гладкая поверхность, заданная векторным уравнением г =г (и,о), (u,o)eD, на которой выбрана единичная нормаль п. Ту же
поверхность, на которой выбрана нормаль - Я, обозначим через S_. Пусть на поверхности S задано непрерывное векторное поле a(x,y,z), т.е. определена непрерывная вектор-функция
а (х, у, z) = (Р(х, у, z), Q(x, y,z),R(x, у, z)) , где компоненты P,Q,ReC(S). Спроектируем в каждой точке поверхности S вектор а на нормаль п. Тогда на S будет определена непрерывная функция an(x,y,z) = (a,n)= = j а || Я | cos (а АЯ) =( a [cos (аЛЯ), знак которой зависит от ориентации поверхности S, т.е. от направления вектора Я.
Определение 6. Потоком векторного поля a(x,y,z) через
ориентированную поверхность S (т.е. в направлении вектора п) называется поверхностный интеграл первого рода
\\(a,n)dS = Jjan dS . (20)
s s
Определение 7. Поверхностный интеграл (20) называется поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции a(x,y,z) по поверхности S и обозначается символом
jjPdydz + Qdxdz + Rdxdy. (21)
s
Итак, по определению
JJP dydz + Qdxdz + Rdxdy = JJ(a, Я) dS .
s s
В силу допущенных предположений относительно поверхности S и вектор-функции a(x,y,z) поверхностный интеграл (20) всегда существует, следовательно, существует интеграл (21).
Отметим, что поверхностный интеграл второго рода зависит от ориентации поверхности S, т.е.
JK dS=-JK ds •
s s_
Если P = Q = 0 и поверхность S задана явным уравнением z = f(x,y), (х, у) € D, то
± 1
cos у = —=====
V1+/,'г+/;!
(где знак зависит от выбора стороны поверхности S) и
j/a„ js=pcos/js=± и ^^ f(JC; ^ д/i+/:2 + /;2
j ^ в v1+/< +/;
= ± ///?(*,у,/(х,у))(22)
D
Эта формула оправдывает следующее обозначение:
\\RcosydS=\\R(x,y,z)dxdy. (23)
5 S
По этим аналогичным соображениям введены обозначения:
UPcosadS = \\Pdydz, jjQ cos fidS = \\Qdxdz, s s s s
которые в сумме с интегралом (23) дают обозначение полного поверхностного интеграла второго рода в виде интеграла (21).
Если a(x,y,z) есть векторное поле скоростей движущейся жидкости, то абсолютная величина интеграла (20) равна массе жидкости единичной плотности, протекающей через поверхность S за единицу времени. Отсюда и происходит слово «поток».
Пример 9. Вычислить интеграл
JI z2 dx dy
s
по внешней стороне полусферы S : х2 +у2 + z2 = R2, z > 0.
Решение. Полусферу S можно задать в явном виде
z = f(x,y) = ^R2-х2-у2 , (x,y)eD = {(х,.у)| х2 + у2 <R2}. Внешняя сторона полусферы определяется нормалями Я, составляющими острый угол с осью Oz . В этом случае можно воспользоваться формулой (22)
п/2 R
JIz2 dtxdy = JJ(1 — jc2 -y2)dxdy = 4 jd<pj(l-r2)r dr =
s D 0 0
= 2 7Г
4 у
7Г R2(2~ R2)
Поверхностный интеграл второго рода в общем случае на основании равенства (6) можно вычислить при помощи двойного интеграла от смешанного произведения трех векторов (а,ги,ги):
