Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
х = х (u(t), v(t)), у = у (u(t), o(t)) , z = z (u(t), v(t)), a<t<b.
Край любой простой гладкой поверхности есть гладкая или кусочногладкая кривая в R3.
Пусть S - простая гладкая поверхность, заданная векторным уравнением (2). Пусть (и0,о0) - внутренняя точка замкнутой области D. При
фиксированном и = и0 уравнение г=г(и0,о) определяет гладкую кривую ух с S , проходящую через точку г (и0,о0) = М0 е S . При этом производная rv(u0,o) есть касательный вектор к кривой ух. Аналогично при фиксированном
o = v0 уравнение г=г(и,о0) определяет гладкую кривую у2 с S, проходящую через точку М0, с касательным вектором ru(u,v0). Кривые г = г (и0,о) и г=г(и,о0) называются координатными линиями поверхности
S. Кривые ух и у2 проходят через точку М0 и векторы ги(и0,о0) и rv(u0,o0) будут соответственно касательными к этим кривым в точке М0. Следовательно, векторы ги(и0,о0) и ги(и0,о0) лежат в касательной плоскости к поверхности S в точке М0. Тогда векторное произведение [ru(uQ,oQ), ru{u0,v0)\ определяет вектор, направленный по нормали к поверхности S в точке М0. Таким образом, вектор N(uQ,DQ) = [ru(u0,v0), r0(uQ,vQ)] является вектором нормали к поверхности S в точке М0, а тогда
= ~ (б) \[ги,ги]\
является единичным вектором нормали к поверхности в точке М0.
Уравнение касательной плоскости можно записать в виде равенства нулю скалярного произведения
(jr-r(u0,v0),N(u0,v0)) = 0, (7)
так как вектор г - г (u0,v0) лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке М0. В координатной форме уравнение (7) на основании формулы для смешанного произведения трех векторов имеет вид
x-x(u0,v0) y-y(u0,v0) z~z(u0,v0)
хи(и0,о0) уи(и 0,о0) Zu(u0,o0)
хЛи о>°о) Уо(и0’и о) zo(Mo^o)
= 0. (8)
Если поверхность S задана явным уравнением (3), то уравнение касательной плоскости (8) в точке М0 = (x0,y0,f(x0,y0)) е S имеет более простой вид
Z = /Оо >Уо ) + fx (х0 ,Уо )0-х0) + fу Оо, у0 X у - у о) .
Пусть u = u(t) , o = o{t) (a<t <b) - уравнения простой гладкой кривой, проходящей через точку (u0,v0) е D, т.е. u0=u(t0), v0=v(t0), a<t0<b. Тогда уравнение
определяет на простой гладкой поверхности S гладкую кривую L. Вычислим длину этой кривой, заданной уравнением (9), пользуясь теоремой 2 §12. Предварительно из (9) найдем
Выражение из правой части равенства (13) называется первой квадратичной формой поверхности. Из (13) следует, что первая квадратичная форма простой гладкой поверхности является положительно определенной,
поэтому EG- F2> О ,причем
где ср - угол между векторами ги и ги.
Оказывается, первая квадратичная форма на поверхности задает метрику. Зная коэффициенты этой формы, можно вычислить по формуле (12) длину кривой, лежащей на поверхности, а также площадь поверхности. Действительно, рассмотрим на поверхности S криволинейный параллелограмм, ограниченный координатными линиями г(и0,о), г(и0+Аи,о), г(и,о0) и г (и,о0 + Ао).
Векторы ru(u0,v0)Au и 7v{u0,o0)Ao будут касательными к координатным
г =г (и (t), v (/)), a<t <b,
(9)
Отсюда
E{u,v) = {?u,?u), F{u,v) = (ru,?u), G(u,v) = (?v,r0). (11)
Тогда длина кривой (9) определяется формулой
j dt а
Равенство (10) можно записать в виде
dr |2 = E(u,v)du2 +2F(u,v)dudv + G(u,v)do2. (13)
(14)
В самом деле,
линиям, проходящим через М0 е S , а длины этих векторов будут отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на бесконечно малые величины более высокого порядка, чем Аи и Ао соответственно при Аи—> 0 и Ао—>0. Поэтому естественно принять, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно равна площади dS параллелограмма, построенного на векторах ги Аи и ги Ао. Следовательно, при Аи >0 и A v > 0
dS = 11л,^] AuAv |= 4EG-F2dudv . (15)
Выражение (15) называется элементом площади поверхности S. Определение 3. Площадью простой гладкой поверхности S, заданной равенством г = 7 {и, v), {и, v) е D, где D - замкнутая ограниченная квадрируемая область, назовем следующий двойной интеграл:
mS = \\^EG-F2du do. (16)
D
Данное определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями, а также приведенными ниже свойствами площади поверхности.
1°. Число mS (т.е. площадь поверхности S) не зависит от способа параметризации поверхности S.
2°. Если поверхность S есть плоская квадрируемая область D, заданная уравнением
х = и, у = о , z = 0, (u,v)eD, то ее площадь, найденная по формуле (16), совпадает с плоской мерой области D. Действительно, в этом случае г=(и,о, 0), ги = (1,0,0),
rv = (0,1,0), Е = G = 1, F = 0. Поэтому
mS = JJVEG-F2dudv = JJdudo = mD .
