Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
— = 2х =----- всюду на R .
ду дх
Тогда на основании формулы (20) имеем
(х,У)
U(x,y)= j(2xy + \)dx + {x2 +3y2)dy + C .
(JWo)
Поскольку здесь интеграл не зависит от формы пути интегрирования, то за точку (Лр-Уо) возьмем начало координат, а за кривую L - ломаную, проходящую через точки (0,0), (х,0) и (х,у). Тогда
U(x,y)= Jg?c+ J(x2 +3y2)dy + C = x + x2y + уг + C.
1. Поверхности. Площадь поверхности. Ориентация поверхности
Пусть х, у, z — текущие координаты точек пространства R3, a D -
ограниченная замкнутая область плоскости R2 переменных и и о.
Определение 1. Пусть F - непрерывное отображение, задаваемое равенствами:
х = х (и, о) , у = у (и, о), z - z(u,o), (и, о) е D, (1)
где х(и,о), y(u,v), z(u,v) - непрерывные на D функции, области D в пространстве R3. Тогда образ F (D) области D при отображении (1) в R3 называется поверхностью и будем обозначать ее через S, т.е. S = F(D). При этом и и о называют параметрами, а равенства (1) -
параметрическими уравнениями поверхности S.
Равенства (1) можно записать в векторной форме
r=r{u,v), (2)
где г =(х, у, z) , г (и, v) = (х (и, v), у (и, о), z (и, о)). Т огда говорят, что поверхность S задана векторным уравнением (2).
Если отображение F из определения 1 является взаимно однозначным, то поверхность S не имеет самопересечений и в этом случае она называется простой.
Если непрерывная функция / определена на замкнутой области D с: R^, то график функции z = f(x, у) является простой поверхностью, так как отображение
F
(х,у) -> (x,y,f(x,y)) является непрерывным и взаимно однозначным. В этом случае говорят, что поверхность S задана в явном виде
z=f(x,y),(x,y)eD. (3)
Если поверхность задана в явном виде (3), то легко ее параметризовать
и = и , y = v, z — f(u,v).
Тогда ее векторное уравнение примет вид
r=r(x,y) = (x,y,f(x,y)).
Определение 2. Поверхность S = F(D), заданная в векторной форме (2), называется гладкой, если вектор-функция г (и, о) непрерывно дифференцируема на D (т.е. функции х(и,о), у (и, о), z(u,v) е Cl(D)) и для любой точки (и, о) из D ранг матрицы
(дх ду дгЛ
равен двум. При этом отображение F также называется гладким.
Отсюда следует, что в любой точке (и, о) е. D векторы
дг (дх ду dz 'j дг (дх ду dz'
ди \ди’ди’ди) до \до’до’до,
дг дг
линейно независимы. В частности, —*0 и —*0. Если векторы (5) линейно
ди до
независимы в D, то модуль векторного произведения всегда | [r„, rj] | > 0 в D. Для явного задания (3) поверхности S условие ее гладкости состоит в
том, чтобы / (х, у) е С1 (D). В этом случае матрица
Л
У»;
будет
единичной и поэтому ранг матрицы (4) равен двум.
Одна и та же поверхность S может быть задана различными способами. Пусть r = r(u,o) ((u,o)eD) и p = p(<^,jj) е G a R2)- непрерывные
отображения областей D и G соответственно в пространство R3. Пусть существует такое непрерывное взаимно однозначное отображение и = u(^,jj) ,
o = o(^,jj) области G на область D, что обратное отображение также непрерывно и для любых точек е G
г{и(%,'П)М?,П)) = Ш,П)-
Тогда будем считать, что равенства г =г(и,о) и р = р(^,г}) определяют одну и ту же поверхность, отнесенную к различным координатам.
Если функции u = u(^,tj), o = o(^,rf) непрерывно дифференцируемы в G и в этой области якобиан
ди
до
ди
дт)
до
*0,
д% дг}
то равенства г=г(и,о) и р = р(^,т]), где функции г (и,о) и р(^,т])
удовлетворяют условиям определения 2, определяют одну и ту же гладкую поверхность.
Пример 1. Равенства
х = л/4--и2 , у = и , z = o , \ и\<2 , 0 < u < 1
и
х = 2cos# , у = 2sin# , z = rj, \ ^\< п/2 , 0 <г/ <1 определяют одну и ту же гладкую поверхность. В данном случае
и = и(^,т]) = 2sin#, о = o(^,ij) = ij непрерывно дифференцируемы при
| ? | < л/2 и 0 < 77 < 1 и там якобиан /(#, rf)-2 cos ? > 0.
Пусть область D ограничена простым гладким или кусочно-гладким
10 — 5026 145
контуром у. Образ кривой у при гладком отображении F будем называть краем простой гладкой поверхности S и обозначать символом dS, dS = F(y). Если уравнение кривой у имеет вид u = u(t) , o = o(t), а < t < b, то уравнение края 8S задается равенствами:
