Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
J = J 3x2ydx + (1 + x3 )dy
L
а) вдоль отрезка от точки (0,0) до (1,1) ;
б) вдоль параболы у = х2 от точки (0,0) до (1,1) ;
в) вдоль ломаной, проходящей через точки (0,0), (1,0) и (1,1).
Решение, а) В первом случае L = {(х,у) \ у = х, 0<х<1}. Тогда на
основании формулы (9) для плоского случая (т.е. R = 0 ) имеем 138
J = J(3x2x + (l + x3))<ix = J(4x3 +1 )dx = 2 .
0
0
б) Здесь L = {(x,y) | у = x2, 0 < x < 1} . Тогда
i i
J = J (3x2x2 + (1 + x3 )2 x)dx = J(5x4 + 2 x)dx = 2.
0
0
в) В этом случае кривая L - кусочно-гладкая, поэтому L = LxkjL2, где
Как видим, что во всех трех случаях результат одинаковый. Это не случайно.
Пример 2. Найти работу силы F = -r/r3 , г =(x,y,z) - радиус-вектор, г = | г |, при движении материальной точки по кривой L , не проходящей через начало координат.
Решение. Пусть кусочно-гладкая кривая L задана векторным уравнением г =r(t), a<t<b. Тогда г(а) и гф) - концы кривой L. Работу под
действием силы F найдем на основании криволинейного интеграла второго рода (8):
3. Формула Грина. Условия потенциальности векторного поля
Пусть D - ограниченная область плоскости R2. Напомним, что областью называется открытое связное множество. Замыкание области D называется замкнутой областью и обозначается через D. В этом случае она получается из области D добавлением к ней точек ее границы 3D, т.е. D = Du 3D . Если D
- замкнутая область, то D = D.
Область Dc:/?2 называется односвязной, если внутренность любого простого контура у, целиком лежащего в D, содержится в D.
Будем говорить, что простой контур у ориентирован положительно, если при обходе контура ограничиваемая им область остается слева. Противоположно ориентированный контур будем обозначать через у_ .
Теорема 1. Пусть функции Р(х,у), Q(x,y), Р’у{х,у) и Q'x(x,y)
непрерывны в замкнутой ограниченной односвязной области G и кусочногладкий контур Г является положительно ориентированной границей
Z-J = {(х, _у) I у = 0, 0 < х < 1} , Z<2 = {(х, _у) I х = 1, 0< у < 1} . Тогда
J = Jl+J2 = j3x2-0-J* + (l + x2)-0+ J 3-1-^-0 + (1 + 1)^= J 2dy = 2¦
0 0 0
A=\(F,dr)=\{-^j, F'l* = - J-l(r, r')dt = -\\^(r2(t))dt =
L a \ f J a У a F 2 dt
dxdy = jPdx + Qdy.
(10)
rdQ_dPл
дх ду у
Отметим, что формула Грина1 устанавливает связь между двойными интегралами и криволинейными интегралами второго рода, взятыми вдоль замкнутых кусочно-гладких кривых.
Формула Грина справедлива также и для многосвязной (и-связной) области, ограниченной внешним контуром Г и непересекающимися внутренними контурами ух, у2, ..., уп_х. На рис. 20 и 21 изображены двусвязная и трехсвязная области.
Выбирая в формуле Грина (10) функции Р(х,у) и Q(x,y), такими, что
9Q дР
---------= const > 0 , получим формулу для вычисления площади замкнутой
дх ду
области G. Например, полагая Q(x,y) = x, Р(х,у) = -у из формулы (10) имеем:
mG = — jxdy-ydx. (11)
2 г
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
2 2
^ + ^ = 1 а2 Ь2
Решение. Уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид:
х = a cost, у = bsmt, 0 < t < 2n . (12)
Тогда исходя из формулы (11) найдем площадь фигуры, ограниченной замкнутой гладкой кривой (12):
12л
mG = — j[acost boost dt-bsint a(-sint)dt]
2 о
12n
- ^(abcos2 t + absm2t)dt = nab.
' Грин Джордж (1793 - 1841) - английский математик. 140
Определение 3. Векторное поле
F(x, у, z) = (Р{х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z))
называется потенциальным в области D с: R3, если существует
дифференцируемая функция U(х, у, z) такая, что
w = Pju=Qsu = R (13)
дх ду dz
при всех (x,y,z) е D. При этом скалярная функция U(x,y,z) называется
потенциалом векторного поля F.
Из дифференцируемости функции U на основании равенств (13) имеем:
... ас/, dU , dU ,
dU =----dx-\------------dy-\-dz = Pdx + Qdy + Rdz ,
дх dy dz
F(x,y,z) = gra.dU(x,y,z). (14)
Ясно, что если U(x,y,z) является потенциалом векторного поля
F(x,y,z), то U(x, у, z) + С, С = const, также является потенциалом
векторного поля F(x, у, z).
Теорема 2. Пусть U{(x,y,z) и U2(x,y,z) - потенциалы векторного поля F(x,y,z), определенного в области D с R3. Тогда Ux-U 2= const.
