Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 44

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 283 >> Следующая

3. Производная по направлению. Градиент. Пусть функция и = / (x,y,z) трех переменных х, у , z определена в области D с: R3 и точка М0 = (x0,y0,z0) из D. Рассмотрим прямую, проходящую через точку М0 по направлению единичного вектора I = (cos a, cos/?, cos у):
x = x0+tcosa, у = у0 +tcos Р, z = z0+tcosy, teR. (8)
Поскольку М0 - внутренняя точка области D, то существует окрестность U(M0,r) точки М0, что при |?|</* точки прямой (8) находятся внутри этой окрестности. Поэтому при 111 < г определена функция
F{t) = f(x0+tcosa,y0+tcosfl,z0+tcosy). (9)
Определение 3. Если существует конечный предел разностного отношения
F(t)-F(0)
- lim
lim
/—>0+0 f
f(x0 +tcosa,y0 +tcosj3,z0 +tcosy)~ f (x0,y0,z0)
(->0+0 f то он называется производной функции f в точке М0 по направлению вектора I и обозначается символом
— (М0) или — (М0) = — (x0,y0,z0).
31 31 31
Теорема 6. Если функция / дифференцируема в точке М0, то в этой точке функция / имеет производную по любому направлению I и эта производная находится по формуле
^f(Mo) = (М 0) cos сс + ~~~ (М0) cos Р + {.М q ) cos у. (10)
о1 ох ду oz
Действительно, по определению производная по направлению I есть производная сложной функции (9) по переменной t в точке ? = 0. Тогда на основании теоремы 4 получаем формулу (10).
7*
99
Отметим, из того что функция в некоторой точке имеет производные по всем направлениям, не следует, что функция в этой точке дифференцируема. Например, функция
имеет в точке (0, 0) по любому направлению производную, равную нулю. Однако функция / в точке (0, 0) разрывна и тем более не дифференцируема.
Определение 4. Градиентом функции и = / (x,y,z) в данной точке
М0 =(x0,y0,z0) называется вектор
Как известно, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. Тогда правая часть формулы (10) есть скалярное произведение вектора (11) на вектор / = (cosa, cos /?, cos у), поэтому формулу (10) можно переписать в виде
Теорема 7 (свойства градиента). 1. Градиент функции / в точке М0 есть вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания / в окрестности данной точки М0 и по модулю равный производной функции f в точке М0 по этому направлению.
2. Гоадиент функции f в точке М0 перпендикулярен (нормален) к поверхности уровня функции f, проходящей через точку М0: u(x,y,z) = u(M0).
Доказательство. 1. Из курса геометрии известно, что
где (р - угол между векторами / и grad и(М0). Поскольку cosip принимает свое наибольшее значение 1 при (р = 0 (или 2 л-), то из (13) следует, что модуль градиента |grad и| есть наибольшее значение ди/д1 в точке М0, а направление вектора градиента совпадает с направлением луча, исходящего из точки М0, для которого ди /д1 принимает это свое наибольшее значение.
2. Уравнения нормали к поверхности уровня u(x,y,z) = u(M0)
дифференцируемой в точке М0 функции / имеют вид
1, если у = х2, х2 + у2 > 0,
0, если у Ф х2 или х = у = 0,
(11)
(12)
Сопоставляя уравнения нормали (14) к поверхности уровня функции u(x,y,z), проходящей через точку М0 с вектором (11), видим, что градиент
является вектором нормали к поверхности и (х, y,z) = u (М0) в точке М0.
Отметим, что из теоремы 7 следует, что определение градиента не зависит от выбора системы координат, так как направление и длина вектора gradu в каждой данной точке являются инвариантами относительно выбора системы координат.
Пример 3. Найти градиент функции
где p = xi+yj + zk - радиус-вектор. Выясним геометрический смысл полученного результата. Поверхностями уровня данной функции являются концентрические сферы с центром в начале координат: х2 + у2 + z2 = с2, сфО. Как видим, градиент направлен по противоположному направлению радиуса-вектора р, т.е. он ортогонален поверхностям уровня и направлен в сторону быстрейшего возрастания функции.
4. Частные производные высших порядков. Пусть во всех точках
области D с: R" существует частная производная du/dxt по аргументу xt функции и = f (х) = f (х1,х2,...,хп) . В этом случае частная производная первого порядка ди /дх1 сама является функцией от х, определенной в D. Если функция ди/дх. имеет частную производную по аргументу хк, к = 1, п, в точке х из D, тогда эту частную производную функции ди /бх1 по аргументу хк называют частной производной второго порядка функции и = f (х) в точке х сначала по аргументу х(., а затем по хк и обозначают
дх ду dz
Решение. По формуле (11) имеем
- ди - ди г* ди gradw - г — + / — + к — г v ду dz
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed