Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
где s = а^- + /3^-?- —> 0 при р—>0, так как при р—>0 переменные
Р Р
Ах —» 0 и Ду —» 0 и отношения ограничены: |Дх//?|<1 и \Ау/р\<\. Тогда равенство (2) равносильно равенствам:
Аи = A f {ха,уа) = ААх + ВАу + ер = ААх + ВАу + о(р) . (3)
Итак,
du = df (х0, у0) = ААх + В Ау.
df(x0,y0) _ л и df(x0,y0) =в дх ду
Следствия. 1. Условие (2) или (3) дифференцируемости функции и = f (х,у) в точке (х0,у0) можно записать в следующей форме:
А*= — Ах+ —Ay + 0(p)=a/<W,)A^3/(W,)A ( ),
дх ду дх ду
2. Если функция u = f(x,y) дифференцируема в точке (х0,у0), то представление ее приращения А и в виде (2) или (3) единственно, и она в этой точке имеет единственный дифференциал
du=^-Ax+^-Ay=af^‘) Ау. (4)
дх ду дх ду
В случае когда х и у независимые переменные, то A x = dx и ts.y = dy. Действительно, если f(x,y) = x, то du = dx = f'xAx + f'ytSy = Ах. Если /(х,у) = у, то du = dу — Ау . Тогда равенство (4) принимает вид
du = df(Xa,ye)J^Mdx+^yAdy. (5)
дх о у
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция u = f(x,y) имеет в окрестности точки (х0,у0) частные
производные fx и f непрерывные в самой точке (х0,у0), то функция f
дифференцируема в точке (х0,у0).
Отметим, что из условия дифференцируемости функции u = f(x,y) в данной точке (х0,у0) вытекает существование касательной плоскости к графику Гу в точке (х0,у0,и0), u0=z0 = f (х0,у0). Уравнение касательной плоскости имеет вид
дх ду
Нормальный вектор n = {f'(x0,y0),fy(x0,y0),-l} касательной плоскости называют нормалью к поверхности Tf в точке (x0,y0,z0) и уравнения нормали имеют вид
*-*о = У-Уо =z-z0
Л(*0’У0) fy(XQ,yQ) -1 или в параметрической форме:
х = хо+*/х(хо’Уо)’ У = Уо + *Д(хо’Уо)’ z = z0 + t(-l) = z0-t ,teR.
7-5026
97
Теорема 4 (дифференцирование сложной функции). Пусть функции х = (р{^,т]) и у = 1//(?;,т]) определены в области G с R2 и
дифференцируемы в точке (^,rj)eG, а функция u = f(x,y)
дифференцируема в соответствующей точке (х,у), где х-(р(^,т]), у = у/{^,т]). Тогда сложная функция и = f[(p(?,T]), ^(?,/7)], определенная в области G, дифференцируема в точке (?,,rf). При этом частные производные этой сложной функции определяются по формулам: ди _ ди дх ди ду ди ди дх ди ду
д? дхд? дуд%' drj дхдт) дудг/
а дифференциал сложной функции выражается формулой
du = u^d^ + undT] = (uxx{+uy y4)d% + (ux хц +иу y^drj =
= их d^ + xTldr]) + иу (yf d% + yn drf) = uxdx + uydy.
Отсюда следует, что формула (5) является универсальной и справедлива также тогда, когда аргументы х и у сами являются дифференцируемыми
функциями новых переменных % и 77. Такое свойство первого дифференциала
du называют свойством инвариантности формы записи.
Отметим, что если x = q>(t) и y = y/(t) зависят только от одной
переменной, то формулы (6) принимают более простой вид :
ди du ди dх ди d у
— =------=-----+-------(7)
dt dt дх dt ду dt
0 и
Примеры. 1. Пусть u = f(x,y), х = е2', y = sin3r. Найти —. По
dt
формуле (7) имеем
ди du 9/_ 2( 5/_
- -2е2'+ —3cos31
dt dt дх ду
2. Пусть и = ^х2 + у2 , x = ?cosTj, y = Tjsin?. Найти и^ и и По формулам (6) находим
х У г <fcos2 /7 + /72 sin<? cos<?
UF = —COST] + r. 77 cos с - ?-:... ? ? ;
tJx2 +y2 tJx2 +y2 л/^2 cos2 /7 + 7]2 sin2 ?
«=~-----------^(-«jnn)4—- У +
^jx2 + y2 ^Jx2 + y2 ^2 cos2Ti + tj2sm2?
Свойство инвариантности формы записи первого дифференциала позволяет легко установить известные для функции одной переменной правила дифференцирования. Пусть и и о - дифференцируемые функции каких-либо переменных. Тогда
d(cu) = cdu, с = const, d(u ±0) = du ± do,
\
u udv-vdu
v2
Теорема 5* (формула конечных приращений Лагранжа). Пусть и = /(х,, х2,..., хп) = /(х) дифференцируема в выпуклой области D. Тогда
для любых двух точек х = (х,, х2,..., хИ), у = {у{, уг, из области D
существует число в, 0 < в < 1, такое, что справедлива формула
1=1 ох;
