Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 7. Если функция / (х) непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве D, то она
1) ограничена на множестве D (первая теорема Вейерштрасса);
2) достигает на этом множестве своих верхней и нижней граней, то есть наибольшего и наименьшего значений (вторая теорема Вейерштрасса);
3) равномерно непрерывна на D, т.е. для любого числа ?>0 существует число 8 = 8 (?) > 0, такое, что для любых х , х" из D, удовлетворяющих условию р(х', х”) < 5, выполняется неравенство | / (х) - / (х") | < ? (теорема Кантора1).
§ 15. Частная производная, дифференцируемость и дифференциал функций многих переменных
1. Частная производная. Пусть функция и = f (х1,х2,...,хп) = /(х) определена в области D с: R" и х0 = (х,(0), xf\ xj;0)) - точка этой области. Фиксируя переменные х, = х,(0), х2 = х^, ..., хм=х1°х, хм = х.°х, ..., хп = х^, кроме xt, получим функцию
от одной переменной х{. Тогда частной производной функции и = f (х) в точке
х0 по х(. называется обычная производная функции (p(xi) в точке х{ =х'0) и
обозначается символом
Таким образом,
def
lim
AXj-> О
д х-
Cl X;
1
(0)
def
1 Кантор Георг (1845 - 1918) - немецкий математик. 94
= lim
Лдг,->0
A .v, /Оо)
AX;
Из данного определения частной производной, как обычной производной при условии фиксирования всех переменных, кроме одной, по которой берется производная, следует, что при вычислении частных производных можно пользоваться известными правилами вычисления производной функции одной переменной (см. § 7). Например, требуется найти частные производные функции
и = / (x,y,z) = e 2 (1)
от трех переменных х, у и z. В (1) фиксируя переменные у и z, получим функцию одной переменной х; вычисляя ее производную, найдем частную производную функции (1) по переменной х :
м.
= ГЛх, У,z) = e
х'+у- ( 2 , 2 Л
- — X +у
V
= е
у
Аналогично находим другие частные производные:
*2V
и.
= f (х, у,z) = e
\
= е
у
= f’z{x,у,z) = e
Х'^(х2 л-у2^
= - е
2х
z
1у
z
2 2 х +у
Замечания. 1. Отметим, что данное определение понятия частной производной всегда пригодно для внутренних точек области D, но оно для граничных точек, вообще говоря, непригодно. 2. Из непрерывности функции в данной точке не вытекает существование в этой точке частных производных. Из существования даже всех частных производных в данной точке, вообще говоря, не следует непрерывность функции в этой точке. Например, функция двух переменных
[0, если х-у = 0; u = f{x,y) = \
[ 1, если х-уф О
не является непрерывной в точке (0, 0), однако в этой точке данная функция имеет частные производные по х и у. Это следует из того, что /(x,0)s0 и / (0, у) = 0, и поэтому
df
(0,0) = 0;
df
(0,0) = 0.
дх ду
2. Дифференцируемость функции. В начале для простоты записей рассмотрим функцию и = /(х,у) двух переменных. Пусть функция и = /(х,у)
задана в некоторой области D cz R2 и (ха,уа) точка из D.
Определение 1. Функция / называется дифференцируемой в точке
где А = А(х0,у0), В = В(х0,у0) - не зависящие от Ах = х-х0, Ау = у-у0 числа; a = a(Ax, Ау) и J3 = J3(Ax, Ау) - бесконечно малые функции при Ах—>0 и Ау—>0.
Равенство (2) называется условием дифференцируемости функции u = f(x,y) в точке (х0,у0). Условие (2) можно записать в иной форме. Для
этого рассмотрим расстояние между точками (х0, У о) и (хо + Ах,у0 + Ау):
А у —> 0. Обратно, если р —» 0, то Ах—>0 и Ау—» 0. Поэтому в равенстве (2) вместо двух бесконечно малых функций а и (3 можно ввести одну бесконечно малую от р. Действительно,
Определение 2. Линейная относительно Ах и Ау часть ААх + В А у приращения А и дифференцируемой в точке (х0,у0) функции и = / (х,у) называется дифференциалом функции f в точке (х0,у0) и обозначается через du или df(x0, у 0) .
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция u-f (х,у) дифференцируема в точке (х0,_у0), то она непрерывна в этой точке.
Действительно, из равенства (2) вытекает, что Аи = Af(x0,y0) —> 0 при Ах—>0 и Ау—>0. А это на основании определения 6 §14 означает непрерывность функции / в точке (х0,у0).
Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция u-f(x,y) дифференцируема в точке (х0,у0), т.е. выполнено
равенство (2) или (3), то в этой точке существуют частные производные по х и у, причем
Аи = A f (х0,у0) = А- Ах + В¦ Ау + а ¦ Ах + /3 ¦ Ау, (2)
которое является бесконечно малым при Ах—>0 и
