Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
U (а,?) с Р(а; дх,д2,дп) .
6. Пусть Е - произвольное множество точек пространства R", т.е. Е a R". Точка asR" называется предельной точкой множества Е, если в любой ее окрестности \J (а, ?) содержится хотя бы одна точка множества Е,
отличная от а, т.е. при любом ? > 0: U (а, ?)г\Е^0, где
U (а, ?) = U (а, ?) \ {а} - проколотая окрестность точки а.
Предельная точка может принадлежать, а может не принадлежать самому множеству Е.
Лемма 3. Точка ае R" является предельной точкой множества Е тогда и только тогда, когда любая ее окрестность содержит бесконечное число точек множества Е.
Из этого утверждения следует, что конечное множество Е точек пространства R" не имеет предельных точек.
Точка ае? называется изолированной точкой множества Е, если существует хотя бы одна окрестность этой точки, в которой нет точек из Е,
о
отличных от a, т.е. существует ? > 0, такое, что U {а, ?)г\Е = 0.
84
Следовательно, каждая точка множества Е является или предельной, или изолированной точкой множества Е.
Точка аеЕ называется внутренней точкой множества Е, если она принадлежит Е вместе с некоторой окрестностью, т.е. существует s > О такое, что U {a, s) а Е.
Из данного определения следует, что любая внутренняя точка множества Е является его предельной.
Точка а<?Е называется внешней для Е, если существует такая окрестность точки а, которая не имеет общих точек с Е .
Точка аеЯ" называется граничной точкой множества Е, если в любой ее окрестности содержатся как точки множества Е, так и точки, не принадлежащие Е.
Граничная точка множества Е может принадлежать или не принадлежать множеству Е, т.е. она не является ни внутренней, ни внешней точкой множества Е.
Множество всех граничных точек множества Е называется границей множества Е и обозначается через д Е.
7. Множество Е a R" называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.
Примером открытого множества являются :
а) в R1 - всякий интервал (а, /3) ; б) в R2 - всякий открытый круг;
в) в R" - всякий п - мерный открытый шар (и >3).
Лемма 4. Открытые множества в R" обладают следующими свойствами:
1) все пространство R" и пустое множество 0 есть открытые множества;
2) объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество;
3) пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
8. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Существует другое эквивалентное определение замкнутого множества.
Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Примером замкнутого множества являются :
а) в R1 - всякий сегмент [a, 0]; б) в R2 - всякий замкнутый круг;
в) в R" - всякий п - мерный замкнутый шар (и > 3) .
Лемма 5. Для того чтобы множество F в R" было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение Rn \F было открытым.
Лемма 6. Замкнутые множества в R" обладают следующими свойствами:
1) все пространство R" и пустое множество 0 замкнуты;
2) пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
3) объединение конечного множества замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Определение 3. Для двух множеств Ех и Е2 величина р{Е{,Е2) = inf р(х,у)
хеЕх, у<=Е2
называется расстоянием между Ех и Е2.
Определение 4. Множество Е с R" называется ограниченным, если существует п - мерный шар с центром в начале координат
О = (0, 0, 0) 6 R”, содержащий все точки Е, т.е. существует
г - окрестность U (г, 0) точки О такая, что Е a U (г, 0). Другими словами, множество Е называется ограниченным, если существует г> О такое, что для всех хе Е выполняется неравенство р (х, 0) < г .
Лемма 7. Если два замкнутых множества не пересекаются и хотя бы одно из них ограничено, то расстояние между ними положительно.
Множество, которое получается присоединением к множеству Е всех его предельных точек, называется замыканием множества Е и обозначается
символом Е .
Лемма 8. Замыкание любого множества замкнуто.
Лемма 9. Гоаница любого множества замкнута.
Лемма 10. Если множество Е cz R” является одновременно замкнутым и открытым, то Е либо пусто, либо Е = R".
9. Введем понятия прямой, луча, отрезка и непрерывной кривой в R”. Прямой в Rn, проходящей через точки a = (ар а2,ап) и Ъ = {Ьх, Ь2,Ьп), называется множество точек х = (лгр х2, хп), координаты которых заданы уравнениями :
X; = а; t + bt (1 -1), te R, i = 1, n.
Лучом с вершиной в точке а в направлении I = (/,, /2,1П), где
l\ +l2 +... + /J =1, называется множество точек х = (хх, х2, хп), координаты которых заданы уравнениями :
xj=ai+tli, 0 </<+оо, i = 1, п .
Отрезком, соединяющим точки а и Ъ, называется множество точек
