Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
попеременным (40,т]0) и уравнения
Р а а + р
----W{---------w ---------— w = 0 .
4-TJ 4-TJ (4-7])
16. Методом разделения переменных: x = r cos cp, y-r sin (p построить
множество частных ограниченных в начале координат решений
метагармонического уравнения
uxx+uyy-ju2u = 0, где ju ф 0 - произвольное комплексное число.
Ответ: и(х,у) = (Cxcosv(p+C2smv(p)Iv(jur) , где Rev>0, Iv() -
модифицированная функция Бесселя первого рода v-vo порядка, Сх и С2 -произвольные постоянные.
17. Методом разделения переменных: cr = ^jx2 -у2 , в = -у2/(х2 -у2),
х > у построить множество частных ограниченных в начале координат решений телеграфного уравнения
ихх-иуу+М2“ = ®’
где ju ф 0 - произвольное комплексное число.
Ответы: и(х,у) =
С\
х-у Х + У.
+ Со
х + у х-у
JЛца), где Re р>0,
Сх и С2 - произвольные постоянные, Jp(-) - функция Бесселя первого рода р- го порядка.
18. Решить задачу о свободных колебаниях однородной струны длиной / = 1 с закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение %(х) имеет форму :
а) синусоиды <р0(х) - A sin и тех (п - целое);
б) параболы ф0(х) = х(1-х);
в) ломаной ОАВ , где О = (0, 0), А = (1/2,1 /2), В = ( 1, 0).
Ответы: а) и(х, t) = Asm я пх-cos я nat;
S +со 1
б) и(х, t) = — ? ---------j sin l@k +1) тс х\ ¦ cos [(2к +1) я а ?];
я к=о (2к +1)
4 +°°
в) и (х, t) = — ^ ———г sin [(2к +1) я х] ¦ cos [(2к +1) ж a t].
я к=о (2к +1)
19. Решить задачу о свободных колебаниях однородной струны длиной / = 1 с закрепленными концами, если в начальном положении струна находится в покое (%(х) = 0), а начальная скорость фх(х) задается формулой :
а) фх (х) = v0 = const, 0 < х < 1;
Гип, если х е [а, В]
б) = rnmr пл где 0 < а < /? < 1.
[0, если хе[0,1]\[а, р],
4 v +°° Ответы:а) и (х, t) = —
1
я а к=о (2к + \)
sin [(2к +1) я х] • sin [(2к +1) я a t];
б) и(х, t) =
_ 2v0 ^ cos кяа - cos кяР
sin кях-sin кясИ.
я" а к=1 к
20. Решить задачу о свободных продольных колебаниях однородного стрежня длиной 1 = 1 при произвольных начальных данных:
u(x,t)\ t=0 - ф0{х), и Дх, t) 11=0 = фх (х), 0<х<1 в каждом из следующих
случаев :
а) один конец (х = 0) жестко закреплен, а другой конец (х = 1) свободен.
Указание. и(х, 0| *=0 = 0, иЛх> 0| х=\ = ®-
б) оба конца стержня свободны.
в) один конец (х = 0) стержня закреплен упруго, а другой конец (х = 1) свободен. Указание. (их - h и) j х=0 = 0, их | х=] - 0, h > 0 .
21. Доказать, что если и (х, 3;) является гармонической в области D, то
а) их-иу; б )хих+уиу также являются гармоническими в D.
22. Найти точки экстремума гармонической функции и(х, у) в замкнутой области D, если
а) и(х, у) = ху, D = {(x, у) I х2 + у2 < 1};
б) и(х, у) = х2-у2, D=Ux, у)
2 2
23. Доказать, что формула
м (x, у) = еlx+fly о (х, у) _ где v(x, у) - произвольная гармоническая функция, Я, /л - постоянные, определяет общее решение уравнения
ихх +uyy ~2Яих -2циу +(Я2 + ju2)u = 0.
24. Найти в единичном круге гармоническую функцию и(г,ср), удовлетворяющую условию м| Г=1 =/ (ф).
а) / (ср) = cos2 (р; б) f(<p) = sin3 (р.
1
Ответы: а) и (г, ср) = — (1 + r cos 2 ср) \
г 2 *
б) и (г, <р) = — (3 sm (р—г sm 3 (р).
4
25. Найти внутри круга радиуса R гармоническую функцию и (г, (р),
9м |
удовлетворяющую условию — Л = / ((р).
дг
а) / (ср) = cos (р; б) / (<р) = cos 2 (р.
2
f
Ответы: а) и (г, (p) = r cos (р + С; б) и(г, ф) = — cos 2 (р + С , где С -
2R
произвольная постоянная.
26. Найти в кольце 1 < г < 2 гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям :
и (г, <р) | Г=1 = /,(р), и (г, (р) | r=2 =f2(<p), 0<(р<2л.
а) /1 (00= Mi - const, /2 (^>) = м2 = const;
б) f\(SP) = Q, f2(<P) = cos <p-t
в) f(<p) = \ +cos1 <p, f2(<p) = sin2 (p.
, ч / чln r , 4 2 ( 1л
Ответы: а) и (г, (p) = м, +(м2 -и,)----------; б) и(г, (р) = — г —
