Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
х у
Ответы: з) и(х, у) = f(x) + g(y)+ Jdg JF(?, rj) dt], где / и g -
*0 -Vo
произвольные функции из класса C'(i?), (х0, у0) - любая фиксированная точка области D ; и) u = f (х) е~ау + g (_у), /, g е С1 (R); к) U = [ / (х) + g (у) ] , /, g е С1 (Л);
л/ig6c4*).
х —_у
в) м = х + ;/ -1 + е*-*1; г) м = ду -1 + —----------------------------------------; д) м = —----------------------------ху;
6. Доказать, что для уравнения Эйлера - Дарбу
Р а п
Uxy----U.V + ------- **у =0,
х — у Х~У
где 0<а, Р <1, а + ft ф \ ,в полуплоскости у > х общее решение имеет вид
и (х, у) = j Ф (0 (t - хГ (y-t)~p dt + yjx? (0 {t - xf'x (у - t)a~x dt,
X X
где ФСО.ЧЧОеС2^).
7. Определить тип дифференциального уравнения в частных производных второго порядка и привести к каноническому виду
а) uxx+2uv-?>uyy+2ux+buy =0;
б) мн +4иху +5иуу + их +2иу = 0;
в) и*с-2иХу+иуу+их+и = 0;
г) ихх-2иху+иуу+иу =0;
д) ихх-6иху+10иуу+их-3иу = 0;
е) Au^+Au^+u^-liiy -0.
Ответы: a) u^+^uf= 0, ^ = х + Tj = 3x-y, б) и#+и!?Г!+ и!?=0,
% = 2х-у, г\ = х\ в) ищ +и^ +и = 0, <^ = х + у, tj = у, г) ипч +и4 +иГ) = 0;
д) Ug+U^+Uf = 0, ? = Х, Г} = 3х + у;е) ипп+и^=0, ? = х-2у, г} = х.
8. Методом характеристик построить общее решение дифференциального уравнения в частных производных
а) мп -2casxuxy-sin2 х Uyy + sinxwy = 0;
б) ихх + уиуу+^иу =0 (у<0);
в) хихх-уиуу+^(их-иу) = 0 [х>0 , у>0)\
г) х2ихх-у2иуу-2уиу=0 (х-у>0)\
д) х2ихх-у2иуу=0 (х-у>0);
2 1
е) У ихх+Уиуу--иу =0 (^ < 0);
2
ж) и**-иуу+-их=Ъ-
Ответы: а) и (х, у) = / (х + sin х + у) + g (х - sin х - у), /, g е С2 (i?) ;
б) и(х, у) = f (x + 2^y) + g(x-2^y) , f, g e C2(R);
У
У
г) и(х, у) = — (р(ху) + ц/ - , % = — ,т1 = ху, ф,ц/&С ; \У \х) х
д) и(х, y) = Jxyf\ — +g(xy), f, geC xj
( 2, fl ( 2 Л
х + -(~У) + g x--(~y)2
I 3 J { 3 J
e) u(x, y) = f x + ^(-y)2 +g x-^(-y)2 , f, geC2;
V /V /
1 ,
Ж) u(x, y) = -[f(x + y) + g(x-y)'], f, geC .
9. Найти решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа
а) “«-4мх, = °. «(*. 0| м) =°- ut\f=o= *.
б) +их = 0, и(х, _у)| у=х = sinх , мх| >1=х =1, хеЛ;
в) Mxx-Mw+2K+My) = °- м(*> У)| у=о = *> У)| у=о =0,
г) хихх-иуу+^их = 0 (х > 0), м(х, у) | у=0 = х, Mj,| у=0 =0;
д) m«+2mxv-3mvv = °> м(*> .У)! v=o =0. му(*> Х)| у=о = *. xeR-,
е) u^+ln^-Зи^ = 0, и(х, у)\ у=0 = Зх2, иу(х, у) \ у=0 =0. Ответы: а) и(х, t) = xt; б) и (х, у) = sin у -1 + ех~у;
в) и(х, у) = х-у~^ + ^ е2у\ г) и(х, у) = х + ^у2;
2
д) и(х, у) = ху + ~ ; е) и(х, у) = Зх2 +у2.
10. Показать, что для уравнения
ихх+Уиуу+^иу =° (У<®)
(1)
задача Коши сданными
и(х,у)|,=0=г(х), иу(х, 0)| у=0 =v(x), xeR
поставлена некорректно. Указание. Воспользоваться общим решением уравнения (1), см. пример 8 (б).
11. Доказать, что для уравнения (1) следующие краевые задачи поставлены корректно :
а) и (х, 0) = т (х), х е R, lim и (х, у) конечен для каждого х е R;
у->0-0 У
\_
б) и (х, 0) = т (х), х е R , lim (-у)2 uv(x, y) = v(x), x&R,
_у—>0-0
где т и v - заданные достаточно гладкие функции. Указание. Воспользоваться общим решением уравнения (1), см. пример 8 (б).
12. Показать, что задача Коши для уравнения
У2ихх + Уиуу~~иу= 0 (у<0) (2)
в классической постановке : и (х, 0) = т(х), иу (х, 0) = v (х) , xeR
некорректна. Указание. Воспользоваться общим решением уравнения (2), см. пример 8 (е).
13. Доказать, что для уравнения (2) весовая задача Коши с данными: и (х, 0) = т (х), lim (-у) 2 uv(x, у) =у(х), где т и v - заданные
достаточно гладкие функции, поставлена корректно. Указание. Воспользоваться общим решением уравнения (2), см. пример 8 (е).
14. Показать, что функция
»(4, л0) = Л(2лД(?-^)(^-^)).
где JQ(-) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, X = const, является решением уравнения + Хи - 0 по переменным (4, rj) и (^0,?70) .
15. Показать, что функция
о(4, г})4о> щ) = ;------------—— F(P,a, 1; а) ,
(rj0~4) (rj~40)
где F (¦) - гипергеометрическая функция,
<у = (4-4о)(г!-'П0)К%-'По)(я-4о)’ 4^<4<г]<щ,
является решением уравнения Эйлера - Дарбу
Р а А
uin~------«*+------
4-г} 4-т}
