Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 278

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 272 273 274 275 276 277 < 278 > 279 280 281 282 .. 283 >> Следующая

Отсюда
1 +0° Г 2
(х, t)-<p(x)\<—== J q>(x-2ay^t)-g>(x) еу dy.
(10)
7Z -а
Пусть е > 0 - сколь угодно малое число. Поскольку несобственный интеграл (9) сходится, то можно найти достаточно большое положительное число N такое, что
2 М
j е yl dy< — ,
2 М
V / ; ' * (11)
/ 71 -оо \ 71 N J
Разбивая в интеграле (10) промежуток интегрирования на три части: (- co,-N), (~N,N), (N,+<x) с учетом оценок (11), получим
2f 1 +N г
\u(x,t)-q>(x)\< — + -т= J (p{x-2ay4i)-(p(x)
3 si 7Г -м
В силу непрерывности функции <р(х) в точке х при всех t, достаточно близких к нулю и I у I < iV, имеем
dy.
(12)
<p(x-2ay4t)-<p(x)
Тогда на основании (13) и (9) из (12) получим
(13)
О с с* 1 +N О р с 1
I w (х, /) — (р (х) I ^ — +——1= Г er dy< — + --f= ]е
1 1 з з з з
dy = ? ¦
Следствия. 1. Решение u(x, t) задачи Коши в области Q бесконечно дифференцируемо, т.е. принадлежит классу С+00( Q).
2. sup | и (х, t) | < sup | (р(х) |.
Q R
Замечание 2. В силу следствия 1 решение u(x,t) задачи Коши (1) - (3) при t > 0 имеет производные любого порядка по х и t вне зависимости от гладкости начальной функции <р(х). Эта гладкость решений существенно отличает уравнение теплопроводности от уравнений гиперболического типа, в частности, от уравнения колебания струны, где гладкость решения в рассматриваемой области существенным образом зависит от гладкости заданных граничных функций.
Замечание 3. Из формулы (4) следует, что тепло распространяется вдоль стержня не с какой-либо конечной скоростью, а мгновенно. Действительно, пусть начальная температура (р(х)> 0 на интервале (а, /?) и равна нулю вне его. Тогда для последующего распределения температур u(x,t) получаем формулу
1 р
u(x,t) =-----y= JVC5)6 4"2f ds.
2a^nt a
Отсюда видно, что при сколь угодно малых 1>0 и сколь угодно больших х, функция u(x,t) положительна. Отсюда следует парадоксальное утверждение, что теплота распространяется в стержне с бесконечной скоростью, т.е. мгновенно. Физически это невозможно. Следовательно, задача распространения тепла в стержне не точно описывается уравнением теплопроводности (2). Это объясняется неточностью физических предпосылок, принятых нами при выводе уравнения теплопроводности.
Задачи для самостоятельной работы
1. Показать, что функция
u(x,y) = x + y + f(x-y),
где / - произвольная функция из класса С1 (R), является решением
дифференциального уравнения в частных производных
ди ди
х-----у— = х — у.
дх ду
2. Доказать, что функция
и = д/х2 +у2 / (arctg— + In-Jx2 +у2) , х
где / eC'(i?), является решением дифференциального уравнения в частных производных
ди ди
(х+у)^—(х~у)—=и-
дх ду
3. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка
a) ut+ux= 0; б) ut-ux= 0;
в) уих +хиу = 0; г) хих +уиу + zuz = 0;
д) уих +хиу = х2 +у2; е) хуих-у2 иу = х2;
ж) — их +—иу=—г; з) хуих+(х-2и)и=уи.
'у 2' ' s х ' Vv —~/~у
х у у
Ответы: а) м(х, t) = Ф^х-t); б) и (х, t) = Ф(х + ?); в) и = Ф(х2 - у2)
;д) и = ху + Ф(х2 -у2) ; е) и = ^— + Ф(х ¦ у) ;
3 у
\Х X j
ж) и = уФ(х2 - у2) , з) и = хФ(2х - у2 -4м) .
4. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных первого порядка
а) (х-2еу) их-иу= 0, и(х, _у)| у=0 =х;
б) их+иу+ 2и2 = 0, и(х, у, z) | у=1 = xz ;
в) хих-уиу=х-у, и(х, у)| х=1 =у + еу;
2
г) уих-хиу=у2-х2, и | ^
д) хмх =и-ху, и(х, _у)| у=2 =1 + х2;
е) хих +уиу =и-х2 -у2, и(х, _у)| у=_2 =х-х2.
Ответы: а) и (х, у) = хеу - е2у +1; б) и = (1 + х - у)(2 - 2у + z) ;
1 (2х + у)2
*'77:д)и=ьГ
е) и = х - 2у - х2 - у2
5. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка
2 1 a )и„=х+у; б )иуу=х + у; в) Uxy+-uy
г)иху=2уих\ д)иху=1\ е)иху=х + у\
ж) иху+уиу-и = 0\ з) uxy=F(x,y), где F(х, у) - заданная в
области DczR2 непрерывная функция;
и) г/ + аи = О, а = const;
лу Л
к) и +аих + bu +abu = 0 , a, b = const; л) и- —(их -и ) = 0.
х-у
Предыдущая << 1 .. 272 273 274 275 276 277 < 278 > 279 280 281 282 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed