Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
2 М
v(x,t) =
Р
fX>
----va t
v2
которая обладает следующими свойствами :
9 2 М ^
1) Lo(x, t) = vt -а (;и = ——[a -a ]s0;
P
2) o(x,t)L=0 = >\u(x, 0)| =0;
P 2
2 M M 2 , . I .
3) u(+ p, t) = -- + —-a t > M > I и (x, t) |.
2 p
Теперь для функций v(x, t) ± u(x, t) применим следствие 3 из внутреннего
принципа экстремума (см. § 19) в области Qp . Поскольку о(х, t) ± и (х, t)> О на параболической границе области Qpg, то для любых (x,t)eQpq: v(x,t) - и (x,t)> 0 и v(x,t) + u(x,t)> 0. Отсюда в замкнутой области
QP,q¦ ~°(х> 0 ^ и(х, О ^ О или
В последнем неравенстве зафиксируем х и t из Qp , т.е. пусть х = х0, t = t0 и (х0, t0) е Qp q. В силу произвольности р> 0 для любого s >0 существует число р0 > 0 такое, что при всех р> р0 справедливо неравенство:
| и (х0, ?0)| < ? . Откуда в силу произвольности ?>0 и точки (x0,t0)eQp q
следует, что и(х, t) = 0 в Q, т.е. их(х, t) = и2(х, t) .
Замечание 1. Единственность, как доказал А.Н. Тихонов, решения задачи Коши для уравнения теплопроводности можно установить в более широком классе: а именно в классе растущих функций, удовлетворяющих оценке:
при всех xeR и t> 0, ?>0, С = С(?)> 0 .
Теорема 2. Если начальная функция ср(х) непрерывна и ограничена на (-со, + со), то существует решение задачи Коши и оно определяется формулой
Доказательство. Действительно, покажем, что для любой непрерывной и ограниченной на числовой прямой R функции <р(х) функция u(x,t), определяемая формулой (4), ограничена в Q \л удовлетворяет условиям (1) - (3) задачи Коши.
Но прежде всего докажем, что функция (4) в области Q удовлетворяет уравнению (2). Нетрудно проверить, что функция
является решением уравнения теплопроводности (2) при t > 0. В теории краевых задач для уравнения теплопроводности функцию G(x, t, s) называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности (2). Тогда нам достаточно показать, что интеграл (4), а также интегралы, полученные из него формальным дифференцированием по х и t сколь угодно раз, равномерно
(x-s)2
(4)
(*)
сходятся на любом замкнутом прямоугольнике Q0 = { | х | < /, 0 < <t <Т] .
Действительно, дифференцируя интеграл (4) несколько раз по х и t, получим сумму интегралов и надо показать, что каждый из них равномерно сходится в прямоугольнике Q0. После дифференцирования под знаком интеграла выделяется множитель (x-s) в положительной степени и множитель t в отрицательной степени. Таким образом, получим сумму интегралов вида
I +«> (x~s)
J(x, t) = — { (p(s)(x-s)me 4a2> ds , (5)
t _co
где m> 0, «>1/2. В интеграле (5) произведем замену
У:
2 a4~t Тогда получим
Х ds = — layft dy. (6)
m+1
J-(2a)m+lt 2 J <p(x-2ayyft) ym e y dy.
—со
Отсюда видим, что интеграл (5) равномерно сходится при всех t>t0 > 0, так как подынтегральная функция мажорируется функцией :
<p(x-2ay4t)ym е~у <М\уГе~у ,
где M = sup|^?(z)| на (-оо,+оо), которая интегрируема на (-оо,+оо), т.е.
+Ю 2
интеграл 0< | М\у \mе~у dy < + оо сходится при любом т> 0. Таким
-оо
образом, функция u(x,t), заданная формулой (4), непрерывна и имеет производную по х и t любого порядка при t > 0.
Далее покажем, что и (x,t) ограничена в Q и
lim и(х, t) = <р(х) , -оо<х<+оо. (7)
^0+0
Для этого в интеграле (4) введем новую переменную у по формуле (6). Тогда
1 +°° г - 2
и(х, t) — —j= J (p(x-2ayylt )е y dy. (8)
V 7E "00
По условию функция ^р(х) ограничена, т.е. существует постоянная
М = sup| <р(х) | > 0 такая, что при всех xeR справедливо неравенство
я
| <р(х) | < М , поэтому при любом (х, t) е Q имеем
1 +® г 2 М +°° _ 2
Iu(x,t)\<—?= J q>(x-2ayylt) е у dy<—?=jey dy-M,
"V 7Г —оо "V ТС —оо
так как (см. гл. 1, § 23, п. 6, пример 5)
справедливость предела (7). Из интеграла (8) с учетом равенства (9) получим
1 +°° 2 u(x,t) = —j= | [<p(x-2ayyft)-<p(x) + <p(x)]e~y dy =
V 7Г —со
1 +С° 2 = (р(х) + —j= J \(р(х-2ay4t)-<р(х)]е~у dy.
v 7? -оо
