Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 276

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 270 271 272 273 274 275 < 276 > 277 278 279 280 281 282 .. 283 >> Следующая

Хп(х) = sin-y-x.
Значениям параметра Л = Лп, определенным по формуле (16), соответствуют следующие решения уравнения (13):
T„(t) = an ехр
( \2 ' птга
I
= ап ехр(-а2А„0,
где ап - произвольные постоянные. Тогда все функции
П7Г
ип (х, t) = Хп (х) Тп (t) = an ехр (-а Я„ t) sin — х
удовлетворяют уравнению (9) и нулевым граничным условиям (11). Составим формально ряд из un(x,t):
П7Г
(17)
u(x,t) = Yuane “ sin-—х.
п—\ I
Теперь потребуем, чтобы сумма ряда (17) удовлетворяла начальному условию (10):
пп X
w(x,0) = ^(x) = ?Xsin
fl—\ I
(18)
Ряд (18) представляет собой разложение заданной функции <р(х) в ряд Фурье по синусам на промежутке [0,/]. Тогда коэффициенты ап определяются по формулам
2 !с , . . П7ГХ 1 ап =— j $j(x)sm——dx. (19)
/ о I
Если функция ср(х) непрерывна на [0,/] и имеет там непрерывную первую производную, <р(0) = <р(1) = 0, то как известно из теории рядов Фурье (см. гл. 1, §11, п. 4), ряд (18), коэффициенты которого определяются по формулам (19), равномерно и абсолютно сходится к <р(х) на [0, /]. Ряд (18) мажорируется сходящимся числовым рядом
II ав\. (20)
п=\
Поскольку 0 < ехр (-а2Яп 0^1 при t > 0, то ряд (19) при t > О , 0 < х < I, также сходится абсолютно и равномерно, так как мажорируется сходящимся числовым рядом (20). Поэтому функция и(х,() как сумма равномерно
сходящегося в Q ряда (17) непрерывна в Q и удовлетворяет начальному
условию (10) и нулевым граничным условиям (11). Остается показать, что сумма
ряда (17) принадлежит множеству C2x’)(Qvjy) и при (х, t)eQvjy
удовлетворяет уравнению (9). Для этого формально почленным дифференцированием ряда (17) составим новые ряды :
I
П7ГХ
ut(x,t) = - ------- Иапп2е“ sin-----------------; (21)
V * /
и„ = -
п=1
2>„«Va4' sin^, (22)
n=l /
которые при всех xeR и t>t0> 0 мажорируются сходящимся числовым рядом
+ °о 2 +00
X \а„\п2еа ¦'° или М^ \ая | ,
п=1 п=1
так как последовательность Ьп = п2е~а л"‘° достаточно быстро стремится к нулю при и—»+оо или воспользуемся ее ограниченностью: |&Л|<М при всех neN и сходимостью ряда (20). Тогда ряды (21) и (22) на основании признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно при t>t0 >0. Следовательно, функции ut и иа непрерывны в замкнутой области t>t0. В силу произвольности t0 > 0 следует, что функции ut и и^ непрерывны в области Q. Подставляя (21) и (22) в уравнение (9) убеждаемся, что функция и(х, t), определяемая рядом (17), является в области Q его решением.
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 4. Если функция <р(х)еС1[<д, I] и <р(0) = ср(1) = 0, то существует единственное решение задачи (8) - (11), и оно определяется как сумма ряда (17), коэффициенты которого вычисляются по формулам (19).
Следствие. Решение задачи (8) - (11) на множестве Q^Jy бесконечнодифференцируемо, т. е. и (х, t) е С+“ (Q и у) .
§ 20. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача Коши)
Задача о распространении тепла в неограниченном однородном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, математически
формулируется следующим образом. Рассмотрим уравнение теплопроводности
Lu=ut -cfu^ = 0 в полуплоскости Q = {(x,t)| t > 0} .
Задача Коши. Найти в полуплоскости Q ограниченную функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям :
u(x,t)eC(Q)nC%(Q)-, (1)
Lu(x,t) = u!-a1uxx=Q,(x,t)&Q\ (2)
u(x,t)\ ,=0 = <р(х), -да-ск+м, (3)
где (р - заданная непрерывная и ограниченная на (—оо, +оо) функция.
Теорема 1. Если существует ограниченная функция u(x,t),
удовлетворяющая условиям (1) - (3), то она определяется единственным образом.
Доказательство. Пусть существуют два решения щ(х, t) и и2(х, t) задачи (1) - (3). Тогда их разность и(х, t) = u,(x, t)-u2(x, t) в области Q ограничена, удовлетворяет уравнению (2) и нулевому граничному условию и (*,0| t=0 = [u\(x,t)-u2(x,t)\ \ = 0, о<х<1.
Поскольку u(x,t) ограничена в Q, то существует постоянная М > 0 такая, что при всех (х, t) е Q : | и (х, t) | < М . Рассмотрим ограниченную область :
QP,q ={(х> 0| \x\<p,Q<t<q),
где р и q - произвольные положительные постоянные, и введем новую функцию
Предыдущая << 1 .. 270 271 272 273 274 275 < 276 > 277 278 279 280 281 282 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed