Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
цЫЕН1 = ил0) = с,*о.
s л
Не теряя общности можно считать, С0 = 1. Тогда из (48) имеем
M=Uf(P)p0(P)dS. (49)
s
Следовательно, справедлива
Теорема 9. Если S - ляпуновская поверхность, то внешняя задача
Дирихле разрешима при любой функции /(Р) е C(S) и ее решение
представляется в виде формулы (46), где постоянная /л задается
равенством (49).
§ 19. Первая начально-граничная задача для уравнения теплопроводности
1. Постановка задачи. Принцип экстремума. Единственность и устойчивость решения
Пусть D - ограниченная область пространства Rn точек
х = (х1,х2,...,хп), n> 1. Обозначим через Q цилиндр в пространстве у
которого нижним основанием является область D, образующие параллельны оси Ot, а верхнее основание есть часть плоскости t = Т > 0 , т.е.
Q = Dx(0,T) = {(x,t)\xeD<zR\ te(0,T)}.
Пусть X - боковая поверхность цилиндра Q\ dQ - граница области Q, Г = dQ\y - параболическая граница, у - верхнее основание цилиндра (t = Т), S = dD (рис. 10).
В области Q рассмотрим уравнение теплопроводности
ди , " д2и ,,
Lu =------а У —- = н -а Ан = 0, (1)
dt ы дх]
которое является уравнением параболического типа (см. §8, пример 3).
В § 4 было показано, что физические задачи распространения тепла в изотропном твердом теле сводятся к начально-граничным задачам для уравнения теплопроводности (1) при п = 3.
Для примера здесь приведем постановку первой начально-граничной задачи для уравнения (1) в пространстве R"*), установим теоремы
единственности и устойчивости решения. В п.2 приводится решение задачи распространения тепла в ограниченном однородном стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре.
Первая начально-граничная задача. В области Q найти функцию
и(х, t), удовлетворяющую следующим требованиям :
u(x,t)eC(Q)r\C™(Qvy)i (2)
Lu(x,t) = 0, (x,t)&Qvjy, (3)
“(*>oL = xeD ’ (4)
и(х, /)|- = ф(х, t), (х, t)e Е (xeS, t е[0, Г]), (5)
где ср и ф - заданные достаточно гладкие функции, причем <р(х) = ф(х, 0) при xeS.
Как известно (см. § 4), задача (2) - (5) представляет собой физическую задачу нахождения температуры u(x,t) в теле D, если известна его начальная
температура ср(х) и температура на границе S тела D в течении времени
/е[0, Г], т.е. на боковой поверхности Z цилиндра Q. При решении этой
задачи очень существенно, что решение ищется для t> 0. Отметим, что аналогичная задача для отрицательных значений t, вообще говоря, не имеет решения. Уравнение теплопроводности в противоположность волновому уравнению существенно меняется при замене t на —t. Это связано с необратимостью процессов, описываемых уравнением теплопроводности.
Теорема 1 (принцип экстремума). Если функция u{x,t) удовлетворяет условиям (2) и (3) и отлична от постоянной, то она на множестве Quy не
может достигать своего наибольшего и наименьшего на Q значений, т.е.
наибольшее и наименьшее на Q значения функции u(x,t) достигаются
только на Г = ? u D.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для гармонических функций (см. §13). Пусть
таxu(x,t) = m. Допустим, что функция u(x,t) на Q^Jy принимает
г
значения, большие, чем т. Обозначим через M = maxu(x,t). Ясно, что
Q
М>т. В этом случае существует точка (x0,t0) = N0 eQuy такая, что и (N0) = max u(x,t) = М . Введем в рассмотрение новую функцию
/л / ч М-т 2
v(x,t) = u(x,t)-\----—г ,
' 2d2
где d - диаметр области D, г - расстояние между точками х и х0 области
D : х = (хр х2,..., х,.,..., хп), х = (х1(0), х(°\ ..., xf\ ..., х‘0)),т.е.
г2 = (х, -хГ)2 +... + (х, -Х<°>)2 +... + (х, -Х<0))2, причем г < d при (х, t) е Q. На параболической границе Г :
v
0,0 |г =
г М-т 2Л
“(*>0 + ¦ Г
2d ;
<
г
.1 М-т М-т т + М
<u(x,t)\ +-------- < т +--------=--------<М .
1г 2 2 2
В точке N0 =(x0,t0)eQuy : o(N0) = u(N0), так как г = 0. Тогда функция o(x,t), как и функция и(х, t), достигает наибольшего значения на Q в точке = (xpf,) е Quy, где хг = (Xj(1), xf\ ..., xf\ ..., х^) . Тогда в этой точке ^(^1) = 0,u((7V1)>0,^i(7V1)<0.
