Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
является характеристическим. Рассмотрим соответствующее уравнению (35) однородное уравнение
1 .. cos(r,nn)
—Ч-^„(е)<й=о. (4D
2 ж s г
Это уравнение имеет собственную функцию v0(P) = 1, так как по лемме
,, cos(r,n0) ,, Я f l Л
If-----^dS = -[[—\-\dS = 2n, PeS.
Следовательно, Л = 1 есть характеристическое число для ядра K(P,Q) и поэтому уравнения (35) и (36) не всегда разрешимы. В силу теории Фредгольма (см. §6 гл.4) однородное сопряженное интегральное уравнение
Pip)+J-SS -S4"-P(Q)dS = 0 (42)
2л s г
имеет собственную функцию, которую обозначим р0(Р) ¦ Покажем, что интегральное уравнение (42) не имеет собственных функций, линейно независимых с р0(Р). Пусть рх(Р) - произвольная собственная функция уравнения (42). Тогда для всех PeS
Ру(П+ ~ Я 005'[г1'Пг) р, (0¦ds " о. к = о,:1 (43)
2 л s г
Рассмотрим потенциал простого слоя
Uk(M) = \\pk{Q)— .ЬОД.МеС,, (44)
S f
Предельные значения производных по нормали к S от этих потенциалов на основании формулы (27) определяются равенством
dnt г
которые в силу тождеств (43) равны нулю на S. Потенциалы (44) гармоничны в G;. Тогда в силу единственности решения задачи Nt функции
Uk(М) = const = Ск в Gi. Покажем, что Ск & 0. Допустим противное. Тогда Uk(M) = 0 в Gi, в частности, Uk(P) = 0 на S. Рассмотрим эти потенциалы в области Ge. Там они также гармоничны и поскольку Uk(P) = 0 на S, то в силу единственности решения задачи De функции Uk(M) = Q в Ge. Но тогда
dUk(P)
дп„
= 0 на S и из формул (27) и (28) имеем
r8Ut(P) dUt(P)^
= о,
dni дп„
х I е /
что противоречит тому, что рк{Р) - собственные функции уравнения (42). Следовательно, СкФ 0 при к = 0,1.
Составим новую функцию р2(Р) = C^p0(P)-CQp^(P) и
соответствующий ей потенциал простого слоя
Ясно, что U2(M) = С,С0 - CqQ = О в Gr Повторяя предшествующие рассуждения, получим, что U2(M) = 0 в R3. Отсюда будет вытекать, что р2(Р) = 0 или рх(Р) = p0(P)CjС0. Итак, любое решение уравнения (42)
только постоянным множителем отличается от р0(Р) .
Рассмотрим теперь неоднородное интегральное уравнение (36) задачи Nr В силу теории Фредгольма уравнение (36) разрешимо тогда и только тогда, когда g(P) ортогональна ко всем решениям сопряженного однородного интегрального уравнения (41). Но это уравнение имеет только одно линейно независимое решение р0(Р) = 1. Тогда для разрешимости уравнения (36)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (33). Тем самым установлена достаточность необходимого условия (33) и приходим к следующему утверждению.
Теорема 8. Если поверхность S - ляпуновская, функция g(P) е C(S) и выполнено условие (33), то решение внутренней задачи Неймана существует и оно может быть представлено в виде потенциала простого слоя с непрерывной плотностью.
Осталось рассмотреть интегральное уравнение (35) задачи De. На
основании теории Фредгольма можно записать необходимое и достаточное условие его разрешимости
Если выполнено условие (45), то разрешима задача De и решение этой задачи может быть представлено в виде потенциала двойного слоя, убывающее на бесконечности как 0(г~2).
Если условие (45) нарушено, то не существует решения уравнения (35), но это не означает, что задача De неразрешима. Можно только утверждать, что
задача De не имеет такого решения, которое можно представить в виде потенциала двойного слоя. Этот факт можно было заранее предвидеть, так как произвольная гармоническая функция в R3 убывает на бесконечности как 0(г~1). Чтобы учесть и такие решения и тем самым избавиться от условия (45) решение задачи De будем искать в виде суммы потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью v(Q) и гармонической функции ju/R, где ц - пока неизвестная постоянная, R - расстояние от начала координат О до произвольной точки М:
\\f{P)P'{P)dS = 0.
(45)
S
В этом случае будем считать, что О eGr Предельная формула (21) и граничное
условие (30) приводят нас к соответствующему интегральному уравнению
1 frcos (г,пп) 1 и
ИР)-—Я , v(Q)dS = — (/(P)-f). (47)
LTC 5 V in Л
Условие разрешимости (33) для уравнения (47) принимает вид
jjif(P)~^)p0(P)dS = 0. (48)
s л
Рассмотрим потенциал простого слоя U0(M) (44) с плотностью р0(Р) . Поскольку О е G,, то
