Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
4. Физическая интерпретация решения задачи Коши
Функция u(x,t), определенная формулой (10), представляет процесс распространения начального отклонения при начальной скорости. На основании физического смысла общего решения (8) струны решение (10) задачи Коши есть наложение двух волн / (х +at) +g (x-at) , одна из которых распространяется направо со скоростью а, а вторая - налево с той же скоростью. При этом
/(x + at) = -^r(x + at) + F (х + at); g(x-at) = -^t(x-at)-F (х- at),
где
Ftf) = -±-]v(s)ds.
2 а о
На плоскости (х, t) прямые x + at = с, = const, х — at = с2 = const являются характеристиками уравнения струны (1). Функция и = ср(х + at) вдоль характеристики x + at = cx сохраняет постоянное значение, равное ф(сг). Аналогично функция и = ср(х- at) постоянна вдоль характеристики x — at = с2.
Пусть функция <р(х) отлична от нуля только в интервале (xv х2) и равна нулю вне этого интервала. Проведем через точки (xv 0) и (х2, 0)
характеристики x-at = xx и x-at = x2. Они разбивают полуплоскость / >0 на три части /, II, III (рис. 5).
Функция u = <p(x — at) отлична от нуля только в области II: X] < х - at < х2, при этом характеристики х - at = хх и x — at = x2 представляют передний и задний фронты распространяющейся направо прямой волны.
Пусть М = (х0, t0) - фиксированная точка полуплоскости />0. Через
точку М проведем характеристики х - at = х0 - at0 и х + at = х0 + at0, которые пересекают ось Ох в точках Р = (хг, 0) = (дс0 -at0, 0) и Q = (х2, 0) = (jt0 +at0, 0). Значение решения и (х, t) = g (х - at) + / (jc + at) в точке M = (x0,t0) равно u(x0,t0) = g(xl) + f(x2), т.е. определяется значениями функций g(х) и /(jc) соответственно в точках (хх, 0) и (х2, 0), которые являются вершинами основания треугольника MPQ (рис. 6).
Этот треугольник, образованный характеристиками МР , MQ и отрезком PQ оси Ох , называется характеристическим треугольником точки М .
Из формулы (10) видно, что отклонение u(x0,t0) точки je0 струны в момент времени t0 зависит только от значений начального возмущения т в точках Р и Q и от значений начальной скорости v на отрезке PQ, что становится более
г(^) + г(0 1 °Г , w
2 2а р
Начальные данные, заданные вне отрезка PQ, не оказывают никакого влияния на значения решения u(x,t) в точке М. Таким образом, если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а только на отрезке PQ оси Ох, то они однозначно определяют решение задачи Коши внутри характеристического треугольника MPQ.
§ 12. Гармонические функции. Примеры. Теорема Кельвина
Рассмотрим уравнение Лапласа
п д2и п
А и = Ъ^ = IX,, = о (1)
,=1 дх{ ,¦=1
в области D точек х = (х,, х2,xn) е Rn, п > 2 .
Если функция и (х) = и (х,, х2,х„) в области D имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет во всех точках области D уравнению (1), то она называется гармонической в области D, т.е. когда
m(x)gC2(D) и Ди(х)г= 0, xeD.
Пример 1. Линейная функция
П
м(х,, х2, *„) = ? OfXi+b
i=1
является гармонической в любой области D a R", так как
ди д2 и .
---= а, и —^ = 0 .
5х; д xt
Пример 2. Функция
q(x, у; х0, у0) = 1п~, г
где г - расстояние между точками (х, у) и (х0, >>0) плоскости R2, т.е. г = -J(x-x0)2 +(>,->,0)2 , является гармонической в любой области плоскости
R2, не содержащей точку (х0, у0) (см. пример 2, § 1).
Пример 3. Функция
^о) = Т7’ п-3'
Г
где г - расстояние между точками х и х0 пространства R”, т.е.
г2 = Х(х, ~х,-0))2 - является гармонической в любой области пространства R",
;=1
не содержащей точку х0. Для доказательства предварительно найдем :
ЯЛХ’ хо) =
Г 1 ^ / 2-л
= (г2) 2
\Г х,
^(ггР(г% =
= (2-л) (rz) 2 (х,. -xf) ;
Ях,х, =(2-и) -- (г ) 2 • 2(х; -X; 0 +(2-л)(г ) 2 =
V 2у
fx -х(0))2 1
= 2) С‘ „+;-} -(л-2)-.
Тогда
п(”-2^г*Г)г -±п~2
л (л - 2) 2 (л - 2) л
- г------------------------= (J.
л+2
