Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
и | /=о =f(x) + g(x) = T(x), ut | (=0 =af'(x)-ag'(x) = v(x).
Таким образом, для нахождения неизвестных функций / и g получили систему функциональных уравнений
/(x) + g(x) = r(x),
f\x)-g'(x) = -v(x). а
Во втором уравнении системы (9) переменную проинтегрируем по s от нуля до х. Тогда получим
/(x) + g(x) = r(x),
(9)
заменим на
/(x)-g(x) = - Jv(j)<fc + /(0)-g(0).
/7 J
Отсюда найдем
1 Iх с
/(*) = -*(*) + — Jv(s)<fc +
2 2,0. о 2
?(*) =
т(х) 1
J v (5) ds
2 2а о 2
Найденные функции / (х) и g(x) подставим в формулу (8)
t(x + at) 1 х+?‘ r(x-at) 1 х~?
u(x,t) =----------+ — Jv(s)<fc +----------------— \v(s)ds.
L 2a 0 2 2a о
Здесь, объединяя интегралы, окончательно найдем решение задачи Коши
2 2a x-at
J v (s) ds .
(Ю)
Равенство (10) называется формулой Даламбера.
По условию функции т(х) и v(x) - заданные достаточно гладкие
функции, поэтому необходимо определить гладкость функций т(х) и v(x) так, чтобы формула (10) давала решение задачи Коши, т.е. функция u(x,t), определенная формулой (10), удовлетворяла условиям (1) - (3). Если функции т(х) е С2(-оо; + оо) и v(x) е С1 (-оо; + оо), то функция и (х, t), определяемая формулой (10), действительно является решением уравнения (1).
Проверим начальные условия задачи (2) и (3). В формуле (10) положим t = 0, тогда будем иметь
“(•*> 0| r=o = г(х)< xeR, следовательно, условие (2) выполнено. Проверим условие (3). Для этого найдем производную по t от функции (10):
т' (x + at)a-r' (x-at)a 1 r . ч , w ...
ut ---------------------— +— [v (x + at) a - v (x - at) (-a)].
2 2a
Отсюда при t - 0 будем иметь
и, | (=0 = v(x),
таким образом, условие (3) также выполнено. Тем самым существование решения задачи Коши для уравнения струны обосновано.
Единственность решения задачи Коши следует из способа построения формулы (10), так как все этапы построения этой формулы были однозначными и она получена из формулы (8) общего решения уравнения струны.
Теперь покажем, что решение задачи Коши устойчиво. Пусть и0(х, t) -решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями : и0(х, t) 11=0 — т0 (х) , u0t(x, t) 11=0 — v0 (jc) , x e R .
Аналогично по формуле (10) можно построить функцию и0(х, t). Пусть | т(х)-т0(х) | < 8 и | v(x) — v0(x) | < 8 при любом х е R.
Тогда при любом xeR и всех t е [0, Г], где Т - любое положительное число, оценим разность между двумя решениями и(х, t) и и0(х, t):
| и(х, t)-u0(x, /)| <^-|т(л: + аО-'г'о(л: + аО| + ^‘|'г(л:_'аО_'го(л:_аО| +
1 x+at 111 x+at
+ Т- 1И?)->'о(?Ж<т<* + т<У + :Г<* \ii =
x-at ? ? x-at
= 8 + 8—2at = 8Q. + t)<8(\ + T). (11)
2a
Пусть s - любое положительное число, возьмем 8 = г/(1 + Г). Тогда из оценки (11) следует, что для любого s > 0 существует 8 = е/(1 + Т) такое, что при всех xeR и t е[0, Г] из условия | т(х)-т0(х) | <8 и | v (jc) — v0 (лс) | < <5 следует справедливость неравенства \и(х, t)-uG(x, t)\< s. А это означает непрерывную зависимость решения и(х, t) задачи Коши от начальных данных.
597
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Если функция т(х) е С2(-оо; + оо), v(x) е С!(-оо; + оо), то существует единственное и устойчивое решение задачи Коши для уравнения струны, т.е. задачи (1) - (3), которое определяется по формуле (10).
При решении конкретных задач может оказаться, что функции т(х) и v(x) не удовлетворяют указанным в теореме условиям гладкости. Тогда нельзя утверждать существование регулярного решения задачи Коши (1) - (3). В этом случае вводят обобщенное решение задачи Коши.
Обобщенным решением задачи Коши (1) - (3) будем называть функцию и (х, t), являющуюся пределом равномерно сходящейся последовательности
регулярных решений un(x, t) задачи Коши для уравнения (1) при начальных условиях:
ип (*> 0 | ,=0 = Тп О) - “„,(¦*> 0 I ,=0 = Vn О) ¦
где тя (jc) е С2(-оо; + оо), vn (х) е С1 (- оо; + оо), гп(х) и vn(x) сходятся равномерно на любом сегменте [а, /?] числовой прямой соответственно к функциям т(х) и v(x).
Нетрудно показать, что если т(х), v(x) е С(-оо, +оо), то существует единственное обобщенное решение задачи Коши (1) - (3), которое определяется формулой (10).
