Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим уравнение струны
utl=a2Uxx (1)
в полуплоскости G = {(jc, t) |r>0}.
Задача Коши. Найти в полуплоскости G решение и(х, t) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям :
u(x,t)\t=0 = т(х), -oo<jc<oo; (2)
ди
dt
= v(x), -со < х <со , (3)
1=0
где т(х) и v(x) - заданные достаточно гладкие функции.
Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.
2. Построение общего решения уравнения струны Уравнение (1) перепишем в виде
дЧг-«* = о
и приведем его к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик(см. § 9 )
A(dt)2 - 2В dt dx + С (dx)2 = 0, где А = а2, В = 0, С = -1. Вычислим D = a2 > 0. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости R2 t. Тогда
dt b±4d i
— =---------= ±— или adt = ±dx.
dx А а
Отсюда, интегрируя, получим
jк + at = с, = const, x-at = с2 = const. (4)
Прямые, заданные уравнениями (4), представляют собой два семейства вещественных характеристик уравнений струны. Согласно теории введем новые переменные
? = х +at-, tj = х-at и вычислим производные и^ и utt :
“** = «в ? + 2 “ft 7, + и„ Tfl + Ue ?„ + и, TJXX =и^+ 2 иеч + и
Щ, = и44 ? +2utn ? Tl< + Um + U4 + Un Чп =и% а2- 2а\п + ипч а
Подставляя эти производные в уравнение (1), получим
4а2 м#,7 = 0 или и^п= 0. (5)
Перепишем уравнение (5) в виде
594
Т)Т)
2
и проинтегрируем его по переменной ^ : откуда имеем
=С,(»7). (6)
где С, (/7) - произвольная непрерывная функция переменной /7. Интегрируя
уравнение (6) по переменной /7, рассматривая при этом В, как параметр,
получим
К dTi = \ci(n)dri + c2(Z),
где С2(?) - произвольная функция от переменной В,. Тогда
«(? »7) = /(?) + s07). (7)
где
/(#) = С2(#). g(»7)= fC107)<*7. где / и g - произвольные функции от одной переменной.
Определим гладкость функций / и g. Для этого функцию (7) подставим в уравнение(5):
«#=/'(?) и Mf„=°
или
un=g'iV) и ^последовательно, если функции / и geCx(R), то функция (7) является решением уравнения (5). Чтобы найти общее решение уравнения (1), вернемся в формуле (7) к старым переменным х \л t :
u(x, t) = f (х +at) +g(x-at). (8)
Если функции /, g e C2(R), то формула (8) определяет общее решение уравнения (1).
Выясним физический смысл общего решения (8). Пусть для начала /(^) = 0. Тогда смещение (возмущение) струны определяется формулой
Щ (•*> 0 = g (х - at) . (80
Пусть наблюдатель, выйдя в начальный момент времени t- 0 из точки х-с струны, движется в положительном направлении оси Ох со скоростью а, т.е. его абсцисса х меняется по закону x = c + at или x-at = с. Для такого наблюдателя возмущение струны, определяемое формулой (8,), будет оставаться все время постоянным, равным g(c). Само явление, описываемое функцией (8^, называется распространением прямой волны. Таким образом, решение (8^ представляет прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси Ох со скоростью а. Аналогично решение
и2 (х, t) = / (x + at) представляет обратную волну, которая распространяется в
отрицательном направлении оси Ох со скоростью а. Тогда решение (8) представляет собой сумму (суперпозицию) двух - прямой и обратной - волн. Это обстоятельство приводит к следующему графическому способу построения формы струны в любой момент времени t. Строим графики функций
“i=g(x) и u2=f(x), изображающие прямую и обратную волны в начальный момент времени t. Затем, не изменяя их формы, передвигаем их одновременно со скоростью а в разные стороны: uy=g(x) - вправо, и2= /(х) - влево. Чтобы получить теперь график струны надо построить алгебраические суммы ординат раздвинутых графиков.
3. Построение решения задачи Коши. Решение задачи (1) - (3) построим на основании общего решения (8). Произвольные функции / и g найдем, удовлетворив функцию (8) начальным условиям (2) и (3):
