Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
v.p. ------------------ = lim ------------------------= lim — m(l + x )
J l + x2 { 1 + x 2
-0.
-A
Пусть функция /(x) определена на сегменте [а, b\, кроме особой точки с, а<с<Ъ, и интегрируема на любом сегменте [а, а] с [а, с) и [/3,Ь\а{с,Ь\. Если существует конечный предел
lim
?•->¦0+0
J/(*) <&+ J /(*) <2*
V а
то его называют главным значением несобственного интеграла и обозначают
v.p. \f{x)dx.
Итак,
v.p. J f (х) dx = lim J f (x) dx + J / (x) dx
a \ a c+e
Пример 11. Найти главное значение интеграла
br dx
I -----, а<с<Ь.
а Х-С
Решение. Несобственный интеграл (18) расходится (см. пример 6). Тем не
(18)
менее
Ь 1 (С-Е 1 b J 'N
г dx .. е dx г d х
лр. ------------= lim -------------------+ --------
J х-С ?->0+0 J Х-С J х-с
а \ а с+е
= lim
?->0
с-е Ь
lnjx-c| + 1п| х --- с\
а с+е
= In
b-c
с-a
§ 11. Ряды
1. Числовые ряды. Пусть задана произвольная числовая последовательность (ап ), апе R . Тогда символ вида
IX =«1+ а2 + •••+«„ + •••
п=1
(1)
называется бесконечным числовым рядом, или просто рядом, числа а,, а2,... -его членами; при этом а, называется первым членом ряда, а2 - вторым, ап -и-м или общим членом ряда.
Ряду (1) поставим в соответствие последовательность его частичных сумм
(?„): S„ =aI + a2+... + a„.
Определение 1. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм (Sn). Предел S = lim Sn
+00
называется суммой ряда (1) ив этом случае пишут ^ап = S. Если же
Л = 1
последовательность (Sn) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.
Пример 1. Рассмотрим ряд, члены которого состоят из бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем х:
+00
1 + х + х + ... + х" + ... = ^х^ . (2)
к=0
Найдем последовательность его частичных сумм
1 — хп
ХФ\,
1-х
п, х = 1.
Отсюда при |х|<1 получаем Нт5л =——, а при |х|>1 последовательность
1-х
(Sn) расходится. Итак, рассматриваемый ряд сходится лишь при | х \ <1, и его сумма равна
+СО 1
Y.X =-------, -1 < X < 1 .
к~0 1-Х
Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то
lim an= 0 . (3)
Действительно, если ряд (1) сходится, то по определению 1 lim Sn = S и
lim Sn_x = S. Тогда
lim an - lim (Sn - Sn_x) = lim Sn - lim Sn^ = S-S = 0.
Условие (3) является лишь необходимым, но недостаточным условием для сходимости. В качестве контрпримера рассмотрим
V-L-1 — -L
ЙЛ V2 4~п*""
Как видим, lim an = lim —= 0, но этот ряд расходится, что следует из
л/п
следующей оценки:
с 1 1 1 ^ 1 Г
Sn — 1 + —7= + ... + —j= — n • —j= — \n .
л/2 Vn \n
Следствие 1. Если lim an Ф 0, то ряд (1) расходится.
Пусть ряд (1) сходится. Тогда по теореме 1 lim an = 0, что противоречит условию lim an Ф 0, значит, ряд (1) расходится.
Определение 2. Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд
ZI ап \ = \а1 l + l«2 I+- + I ап I + - ¦ (4)
л=1
Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд (4) из модулей его членов расходится.
Теорема 2. Если ряд (4) сходится, то и ряд (1) также сходится, т.е. абсолютно сходящийся ряд сходится.
Теорема 3 (признаки сравнения). Пусть j лсл | < при всех п>п0, n0 е N. Тогда
+00 +оо
