Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
{—• (14)
Г t
Решение. Данный интеграл в силу теоремы 2 §9 при каждом х>0 существует как собственный интеграл Римана, так как на сегменте [1, х\ при
х > 1 и на [х, 1] при 0 < х < 1 функция f (t) = l /1 непрерывна. Если х < 0,
то подынтегральная функция f (t) = l /1 при t = О имеет особенность порядка
Л = 1, поэтому интеграл (14), рассматриваемый в этом случае как
несобственный, расходится. Следовательно, интеграл (14) как функция
переменной х определен на промежутке (0, + оо).
Для несобственных интегралов второго рода справедливы утверждения, аналогичные утверждениям п.1, данного параграфа.
Теорема 5 (критерий Коши). Для сходимости интеграла (10) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О можно было найти S > О такое, что для любых /3', (3" € (О, S) выполнялось неравенство
ъ-р-
| / (x) d X < € .
Ъ-Р'
Теорема 6. Если сходится интеграл
\\f(x)\dx, (15)
a
то подавно сходится сам интеграл (10).
Определение 4. Несобственный интеграл (10) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (15). При этом функция f (х) называется абсолютно интегрируемой на промежутке [ a, b ]. Если интеграл (10) сходится, а интеграл (15) расходится, то интеграл (10) называется неабсолютно или условно сходящимся.
Теорема 7 (признак сравнения). Пусть 1) функция / (х) непрерывна на промежутке [а, Ь) и при всех хе[а, Ъ) удовлетворяет неравенству:
ъ
| /(х) | < сg(х), с = const > 0; 2) несобственный интеграл jg (х) dx
a
сходится. Тогда несобственный интеграл (15) сходится, т.е. интеграл (10) сходится абсолютно.
Следствие 3. Пусть на промежутке [а, Ъ) справедлива оценка:
ъ
\f(x)\>Cg(x)>0, С > 0. Тогда из расходимости интеграла j g(x) dx
a
следует расходимость интеграла (10).
4 — 5026
Следствие 4. Пусть на [a, b) функция / (х) непрерывна и
удовлетворяет оценке | f {х) | < Сф-х)'1, где С и Я - положительные
постоянные и Я< 1. Тогда несобственный интеграл (10) сходится
абсолютно.
Если же на [a, b) функция / (х) удовлетворяет неравенству \/{х)\>Сф-хул, Я > 1, то интеграл (10) расходится.
Пример 9. Исследовать на сходимость интеграл Эйлера
1
J= \ ха~\1-х)ь~1 dx, (16)
О
где а и b - вещественные параметры.
Решение. Для подынтегральной функции /(х) - ха~х (\-х)ь~х при а< 1
особая точка 0, при b <1 особая точка 1. Если теперь интеграл (16) разобьем на два интеграла
J = J х*-1 (1 _ Х)ь~х dx+) xa~l (1 - х)ь~1 dx = Jx+J2,
О а
где 0 < а < 1, то на основании следствия 2 интеграл 7, сходится при а > 0, а интеграл J2 сходится при b > 0 . Следовательно, интеграл (16) сходится только в том случае, когда а > 0 и b > 0 , так как при других значениях параметров а и b либо интеграл 7, расходится, либо J2 расходится (см. пример 6).
3. Главное значение несобственного интеграла. Пусть функция f (х) определена на всей числовой прямой (-оо, +оо) и интегрируема по Риману на любом сегменте [а, Ь~\ с (-оо, + оо) . Если существует конечный предел
+А
А—>+<я
lim J / {х) dx,
то его называют главным значением несобственного интеграла и обозначают символом
+00
v-P- \f{x)dx,
где v.p. - сокращенная запись для главного значения - valeur principale. В этом случае функцию / (х) называют интегрируемой в смысле Коши или главного значения. Таким образом,
+оо ^ef +А
v.p. f / (jt) dx = lim f / (x) dx.
J A—>+oo J
-oo -A
Пример 10. Найти главное значение интеграла
+оо
-СО 1 + *
Решение. Легко убедиться, что несобственный интеграл (17) расходится. Однако
+со j + A j 1
Г х dx Г х dx 1 2
