Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
точки С кривой Г на ось О у, в два раза больше площади криволинейной
трапеции OACD (рис. 3, а). Ответ: у(х) = Сх2, С > О .
7. Решить интегральное уравнение
1
ср{х)-Л jK(x,t)q>(t)dt = f(x),
о
если: a) K{x,t) = x-t, f(x) = 1; б) K(x,t) = jc — 1, f{x) = x \
в) K(x,t) = 2ex+I, f(x) = ex.
6(2 — A + 2Ax)
12 +A2
Ответы: a) (p{x) = ---- —- при всех Л,еД;
2х(\ + Л)-Л
б) <р{х) = —-------- при Я^-2;при Л=-2 нет решения;
Л + 2
х 1
е 1 1 1 —г---- при ЛФЛп=-~-
1-А(е2-1) 0 е2-1
в) <р(х) = -—-^—г—— при ЛфЛ0=——-; при А=А0 уравнение не имеет
решения.
8. Найти решение интегрального уравнения
1
ф(х)-А jK(x,t)q>(t)dt=f(x),
-1
если: a) K(x,t)=xt + x2t2, f(x) = x2 +х4; б) К(x,t) = xt2 +х21, f{x) = 1;
3
в) K(x,t) = xt2 +x2t, f(x) = x3-—x.
4 , . 4 5(7 + 2Л) 2 .5.3
Ответы: a) <p(x) = x н--------x при Л Ф — и Л Ф —;
^ 7 (5-2/1) 2 2
3 25
при Л = — ф(х) = Сх-\-----х +х4, С - произвольная постоянная;
2 7
3 5
при Л = — уравнение не имеет решения;
10Лх(1 + 2Лх) г—,
б) <р(х) = 1 +------------ при Лф±ы 15/2;
15-4/1 '
при A = ±yfl.5/2 нет решения;
в) ф(х) = х3 -—х при Л Ф ±л[\5/2 ;
з 3
ф(х) = х - — х + С}
С; = const, при Л = >/15/2;
г _ Ц ^ х hx V v У
9. Решить интегральное уравнение
л
ср(х)-А jK(x,t)<p(t)dt = f(x) ,
0
когда: a) AT(x,0 = sin(2x + 0, /(jc) = я-- 2jc ; б) AT(x,0 = sin(3x + 0, f(x) = cosx.
12 А
Ответы: а) ср(х) = я-2хл------------sin2x при АфЗ)А и Аф-3/2,
3-АА
ср(х) = л-2x-2sm.2x +Сcos2x, где C = const, при А = -3/2\ при /1 = 3/4 уравнение не имеет решения;
б) (р(х) = cosx + ^-sin3x при всех A<eR.
10. Решить интегральное уравнение
2ж
<р{х)-А fK(x,t)<p(t)dt = f(x) ,
о
когда:a) K(x,t) = cosxcost + cos2xcos2t, f(x) = cos3x;
б) K(x,t) = cos(2x-t) , f(x) - любая заданная на [0,27г] непрерывная функция.
Ответы: a) ^(x) = cos3x при A*\jTi\
^(x) = cos3x + CjCosx + C2cos2x, Сх, С2 - произвольные постоянные, при
2ж
А = \/7Г',6) <р(х) = А Jf{t)cos(2x-t)dt + f(x) при любом AeR.
о
11. Найти все значения параметра а, при которых интегральное
уравнение
1
(р(х)~ Aj(a x~t)<p(t)dt = f(x)
о
разрешимо при всех А е R и любой непрерывной функции f(x), заданной на
[0,1]. Ответ: 1/3 < а < 3 .
12. Определить характеристическое число и соответствующие
собственные функции для следующих симметрических ядер:
а) К(х, t) = xt, а = 1, b = 1; б) К(х, t) = x + t, а = 0, b = 1;
в) K(x,t) = х2 +t2, а - 0, 6 = 1.
Ответы: а) А = 3, <р(х) -х ; б) Ах 2 = - 6± Ал/3 , срх 2 (х) -х±4з/3\
в) Ли2 =(-15 ± 9->/5)/4, (рх2(х) = х±45/5.
13. Построить решение интегрального уравнения с симметрическим ядром, пользуясь разложением по системе собственных функций:
1
а) <р(х) = Л j (x + t)<p(t)dt + х\
о
б) <р(х) = (- 6±4л/3) $(x + t)<p(t)dt + x\
о
в) <р(х) = (- 6 + 4л/3) J(x + t)<p(t)dt + (1 -л/Зх).
о
(6Л-\2)х-4Л пг
Ответы: а) (р(х) = —---------------, если Л = — 6±4V3 ; б) интегральное
Л +12/1-12
уравнение неразрешимо; в) ср(х) = 1 - л[3х + А(1 + у[3х) -1- — х, А = const.
14. Доказать, что всякое интегральное уравнение с ядром вида K(x,t)p(t), где K(x,t) - симметрическая функция, p(t) - положительная функция, приводится к случаю симметрического ядра. Указание. Умножить обе части интегрального уравнения с указанным ядром на функцию л[р(х) .
15. Ядро К(х, t) называется кососимметрическим, если
К* (х, 0 = К (t, х) = -К(х, 0.
Доказать, что если К(х, t) кососимметрическое, то его характеристические числа чисто мнимые. Указание. Ввести новое ядро L(x,t) = iK(x,t) и рассмотреть интегральное уравнение с этим ядром и соответствующим числовым параметром ц = 1Л.
