Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
7 2п
о г , „ cr-s
aco{s)-------f<w(cr) ctg----------------------------------dcr = Q. (19)
2л * 2
Применим к обеим частям уравнения (19) оператор
2 л • 2
После преобразований в силу формулы (16) найдем
h2 2я
(a2 +b2)co(s)----------ja)(cr)dcr = 0.
(21)
2л о
Отсюда следует <w(.s) = const = С. Подставляя <w(.s) = со(а) = С в
равенство (21), имеем, что а2С = 0 или С = О, так как по условию аФ 0.
Следовательно, функция й(^)е0, т.е. Y<p = f. Таким образом, из уравнения
(15) как следствие вытекает уравнение (18). С другой стороны, уравнение (18) является следствием уравнения (15), тем самым их эквивалентность доказана.
Теперь, решая уравнение (18) как интегральное уравнение с вырожденным ядром (см. § 5), найдем искомое решение уравнения (15)
Итак, справедливо следующее утверждение.
Теорема 6. Если f(s) е Н“[ 0 ,2л~\, а2+Ь2 > 0 и аФО, то существует единственное решение интегрального уравнения (15) из класса Н“[0,27г] и оно определяется по формуле (22).
Рассмотрим случай, когда а = 0. Тогда, не теряя общности, можно полагать Ь = \. В этом случае мы имеем дело с так называемым интегральным уравнением первого рода
В случае уравнения (23) формула (22) становится непригодной, однако уравнение (23) решается непосредственно. Заменив в уравнении (23) переменные а и 5 соответственно на 0 и а и применим к обеим частям интегральный оператор
(22)
(23)
CT-S
<P(S)~~ j(p(s)ds = 0(s).
1 2я,
(25)
Тогда из уравнения (24) имеем
(p(s) = А + Ф(^) . Подставляя функцию (26) в равенство (25), находим
(26)
(27)
Для любой интегрируемой на [0, 2я] функции f{s) всегда выполняется равенство (27):
Итак, постоянная А в (26) остается произвольной и решение интегрального уравнения (23) определяется по формуле
Теперь функцию (28) подставим в исходное уравнение (23) и она удовлетворяет уравнению тогда и только тогда, когда
2 к
Таким образом, условие (29) необходимо и достаточно для того, чтобы интегральное уравнение (23) имело решение.
В случае более общего интегрального уравнения
где а и Ъ - постоянные, ядро K(s,cr) фредгольмово на квадрате 0<s,cr<2я, в результате применения к обеим его частям оператора (20), получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода более общего вида. Можно показать, что полученное интегральное уравнение Фредгольма второго рода и интегральное уравнение (30) эквивалентны. Когда коэффициенты а и b уравнения (30) являются функциями от s, полученное интегральное уравнение Фредгольма может оказаться неэквивалентным интегральному уравнению (30).
(28)
\f(s)ds = 0.
(29)
О
Задачи для самостоятельной работы
1. Решить интегральное уравнение
хе (pit) dt „ . . п г~ I
j . = х, х>0. Ответ: <р(х) = 2yJх/ж.
о -yjx — t
2. Решить интегральное уравнение с помощью резольвенты:
X
а) <р(х)~Л !(x-t)q>(t) = f(x) , xeR,
о
где /(х) - заданная на R непрерывная функция;
б) (р(х) — Л (р(t)dt = /(х), xeR.
о
Ответы: а) (р(х) = f (х) + л/~Л jf (t)sh[-JJ,(x-t)]dt при всех Л> О,
о
shz = (ez -e~z)ll - гиперболический синус;
(р (х) = f (х) - л/- Л If (it) sin [V- Л (x -1) ] dt, Л <0;
0
6) g>(x) = f (x) + Л )/ (0dt.
0
3. Решить начальную задачу Коши для дифференциального уравнения
у\х) + у{х) = х, xeR, ^(0) = У(0) = О путем сведения к интегральному уравнению Вольтерра. Ответ: у(х) = x-sinx.
4. Решить следующие интегральные уравнения путем сведения к начальной задаче для дифференциальных уравнений:
X X
1) у(х)+ \{x-t)y{t)dt -х\ 2) у(х)+ j(x-t)y(t)dt = 1;
о о
х х
3) .у(х)- ly(t)dt = 1; 4) >’(х)+ l(x-t)y(t)dt = x-2cosx.
о о
Ответы: 1) ^(х) = sinx; 2) ^(х) = cosx; 3) у(х) = ех -,
4) .у(х) = sinx-2cosx + xsinx .
5. Доказать, что все решения дифференциального уравнения ограничены на всей числовой прямой
а) У(х)-------^--------= 0, xeR] б) У(х)-----------2 1 . 2 =0, xeR.
2 + х +cosj; 1 + x +sin у
6. Найти уравнение у = у(х) кривой Г, проходящей через начало координат и лежащей в плоскости ^>0, если площадь фигуры ABC (Л = 0), ограниченной осью Оу, кривой Г и перпендикуляром, опущенным из любой
