Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
g(x) = l/ха нетрудно убедиться, что для интеграла (8) выполнены все условия теоремы 4. Поэтому интеграл (8) сходится при всех а > 0.
Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл Френеля
+оо
J sin х2 d х . (9)
о
Решение. Интеграл (9) представим в следующем виде:
+со а +со j
J sinx2 d х = J sin x2 d x + Jxsin x2 ¦— d x, a > 0 .
0 0 a X
Первый интеграл в правой части последнего равенства является собственным, а
для обоснования сходимости второго несобственного интеграла достаточно
положить /(x) = xsinx2, g(x) = l/x и применить теорему 4.
2. Несобственные интегралы второго рода. Пусть функция /,
заданная на полусегменте [а, Ъ), интегрируема на любом сегменте [а, Ь- (5\,
где 0 <(5 <Ь-а, и не ограничена в окрестности точки b . При этом точку b
называют особой точкой функции / на [а, 6]. Рассмотрим функцию
F(W = 'l/W*.
а
которая определена на (О, b - а].
Определение 3. Правый предел функции F ((3) при /?->0 + 0 называется несобственным интегралом второго рода функции / на [а, Ь] и обозначается как определенный интеграл Римана символом
{/(x)dx. (10)
a
Итак,
Ь. def Ь~Р
]f{x)dx= lim J f(x)dx. (11)
a ^ a
Если предел (11) существует и конечен, то несобственный интеграл
(10) называется сходящимся. Если этот предел бесконечен или не
существует, то интеграл (10) называется расходящимся.
Аналогично (11), определяется интеграл от / на [а, 6], когда точка х = а является особой :
Ь def *
|/(х) dx = lim J/(x) dx.
def
a->0+0
a a+a
Если обе точки a и b особые для функции / на сегменте [а, 6], то
def
\f(x)dx= lim [/(х) dx,
я_*.ги.п J
/?-»0+0 а_>0+0 a + Ct
где а и Р —> 0 независимо друг от друга.
Пусть особая точка с функции / находится внутри сегмента [a, b\. Тогда
несобственный интеграл
J/(x)dx = | / (х) <ix + J/(x) dx
a a c
разбивают на два интеграла, где один из пределов интегрирования является особой точкой.
Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл
b( dx .
------------------------------------г,Л>0. (12)
t(x-aY
Решение. Функция /(х) =- —у- интегрируема на любом сегменте
(х-а)
[а + а,Ь], 0 <а <Ь-а ,и
F(e)= J
dx
(.х-ау
1-Л
[(Ь-ау-л-а1-л], Лф1, In (b - а) - In а , Л = 1.
Отсюда
1
lim F(a) = < 1 - Л
а—>0+0
(,Ъ-а)
1-Я
Л< 1,
+ оо, Л > 1.
Следовательно, интеграл (12) при Л< 1 сходится и равен числу (6-а)ьЯ/(1-/1), а при Л> 1 расходится.
Аналогичная ситуация для несобственного интеграла
dx
h
, л>о,
а(Ь~х)Х
т.е. этот интеграл сходится при Л < 1, а расходится при всех Л > 1.
Пример 7. Вычислить несобственный интеграл
V dx
-to-
Решение. У интеграла (13) концы промежутка интегрирования являются особыми точками. Поскольку особенность подынтегральной функции
/(х) = (1-х2)-1/2 = (1 + х)-1/2(1-х)~1/2 при х->+1 порядка Л = 1/2, то в
силу примера 6 интеграл (13) сходится. Далее, как известно,
(arcsinх)' = - ,= =, -1 <х< 1.
Тогда
dx
л/l-x2
dx
1-/8
j I--------= lim J .—
-1 Ы1-Х1 -i+e VI-
= lim arcsin x
y.*- p-tQ+Q
•*' a-»0+4
1-/8
-1+a
Я Я
= lim [arcsin (1 - /?) - arcsin (-1 + a)] = — + — = n.
a->o+o 2 2
a->0+0
Пример 8. Найти область определения интеграла
dt
