Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 21

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 283 >> Следующая

1 А
= -arctg—. к к
Тогда
+ r dx ,ч ,• 1 Ап
j—-------= lim F(A) = lim — arctg— =
1 к + x л-м-со
Следовательно, интеграл (4) сходится и равен
л->+°о к ~ к 2\к\ 71
2\к\
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл
+? dx ' х1’
а л
где а > 0, в зависимости от параметра Л g R. Решение. Вычислим
(5)
F(А) = ]х~х dx-
хх-х
1-Л
1пх
1
(А1'*-а1’*), Лф I,
1-Л
= In А - In а,
Л = 1.
Отсюда видно, что при Л > 1 существует конечный предел а при Л < 1 данный предел равен бесконечности.
Л-Н-оо
Таким образом, несобственный интеграл (5) при Л > 1 сходится и равен числу а при Л< 1 расходится.
Поскольку сходимость несобственного интеграла (2) равносильна
существованию конечного предела функции (1) при А-++ оо, то на основании критерия Коши (см. § 4, теорему 3) для предела функции можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла (2) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось число Aq > a, такое, что при всех А,, Л2> А0 выполнялось неравенство
Л,
|F(4)-F(^)| =
]/(*)&
<? .
Этот критерий позволяет установить такое утверждение.
Теорема 2. Если сходится интеграл
+сс
l\f(x)\dx, (6)
a
то подавно сходится сам интеграл (2).
Отметим, что из сходимости интеграла (2), вообще говоря, не следует сходимость интеграла (6). Это обстоятельство дает основание для введения следующего понятия.
Определение 2. Несобственный интеграл (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (6). При этом функция / (х) называется абсолютно интегрируемой на промежутке [а, + со). Если интеграл (2) сходится, а интеграл (6) расходится, то интеграл (2) называется неабсолютно или условно сходящимся.
Теорема 3 (признак сравнения). Пусть 1) функция /(х) непрерывна на
[а, + оо) и при всех х>а справедлива оценка : \ f (х)\ <С g (х),
+оо
С = const > 0; 2) несобственный интеграл J g{x) d х сходится. Тогда
a
сходится интеграл (6), т.е. интеграл (2) сходится абсолютно.
Доказательство проводится на основании теоремы 1.
Следствие 1. Пусть на промежутке [а, + со) справедлива оценка:
|/(*)| - Cg(x)>0, C = const>0. Тогда из расходимости интеграла
+со +оо
| g (х) d х следует расходимость интеграла | / (х) d х.
a a
Доказательство проводится методом от противного.
Следствие 2. Пусть а> 0 и на [а, + со) функция / удовлетворяет оценке: |/(х)| < Сх л, где С и Я - положительные постоянные и Я> 1. Тогда несобственный интеграл (2) сходится абсолютно. Если же на [а, + оо) функция / удовлетворяет неравенству: |/(х)( > Сх1, Я< 1, то
интеграл (2) расходится.
Доказательство этого следствия вытекает из теоремы 3 и следствия 1, где
в качестве функции g (х) следует взять х~л.
Пример 3. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл
+<? cos ах ,
(7)
где а и к - действительные постоянные, к > 0. Решение. При всех х > 0 имеем :
cos ах
к + х
cos а х
<
1
к2+х2 к2+х2
и интеграл от правой части оценки в силу примера 1 сходится. Тогда интеграл (7) сходится абсолютно. Абсолютную сходимость интеграла (7) можно обосновать и на основании следствия 2. Для этого достаточно интеграл (7) представить в виде суммы двух интегралов:
+<? cos ах , at cos ах , +? cos ах ,
—:----- ах = \ —------ dx+ —--------- dx,
О к + х о к + х „ к +х
где а > О. Первый интеграл в правой части является собственным, а подынтегральная функция второго интеграла оценивается при х > а так:
cos ах
к2 +х
<
1
1
к2+х2 х2
Приведем еще один признак сходимости несобственного интеграла, пригодный для установления и условной сходимости.
Теорема 4 (признак Дирихле - Абеля). Пусть выполнены следующие условия: 1) функция /(х) непрерывна на промежутке [а, + оо) и следующий интеграл ограничен:
f/(*) dx
< М
при всех b > а; 2) функция g(х) при х>а непрерывно дифференцируема и, монотонно убывая, стремится к нулю при х—> + сс. Тогда интеграл
+00
f/(*) g(x) dx
a
сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
+ f sin X ,
---------dx,
J
1 x
a> 0.
(8)
Решение. При a> 1 интеграл (8) сходится абсолютно, так как при д:>1 : jx~a sin х j<х~а . Пусть теперь 0<а<1. Тогда полагая /(x) = sinx,
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed