Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
относительно х от й до Ь. Полученные равенства вычтем одно из другого, в
результате имеем
ь ( ь \
0 = Яо J \К{х, s)ar_l(s, t)ds \ar(x, t)dx +
a \ a \
ar__j (x, t) dx.
ь f ь ^
+ J jK(x, s)ar(s, t)ds ar(x,t)dx-A0 Г ГK(x, s)ar(s, t)ds
Если переставим переменные интегрирования в третьем двойном интеграле, то в силу симметрии ядра K(x,t) получим первый двойной интеграл. Тогда после
приведения подобных слагаемых из последнего равенства получим
ь ( ь Л
J \К(х, s)ar(s, t)ds ar(x,t)dx = 0.
а V a J
Отсюда с учетом равенства (18) найдем
ь
(х, t)dx = 0.
а
Из последнего в силу непрерывности функции ar(x, t) следует ar(x, t) = 0, а это противоречит условию, что ar(x, t) не есть тождественный нуль. Значит, наше допущение r> 1 неверно, следовательно, r = 1.
Лемма 6. Если Ах, А2, Ап, Ап+1, ... есть множество всех характеристических чисел симметрического ядра K(x,t), а (рх{х), (р2(х),...., <рп(х), (рп+1(х), ... - соответствующие им собственные функции, то ядро
*<¦>(*,,)=*(*,(19)
<=i Л
имеет характеристические числа Хп+1, Лп+2, которым соответствуют
собственные функции (рп+1(х), <р„+2(х), .... Других характеристических чисел
и собственных функций ядро K(n)(x,t) не имеет.
Доказательство. Пусть А- и ср. (х) являются характеристическим числом
и соответствующей собственной функцией ядра K(x,t) и j>n. Рассмотрим выражение
ь
а(х) = (р-(х) - Xj \К(п) (х, t)(p} (t)dt, (20)
которое в силу (19) можно представить в виде
а(х) =
ь
(pj (Х> - Xj \к(X, t)(pj (t)dt
+ Aj'Z-Lr—(<Pj><Pi)-i=i Л-
Выражение в квадратной скобке равно нулю, так как X. и <Pj(x) являются характеристическим числом и соответствующей собственной функцией ядра K(x,t). В силу ортогональности системы собственных функций
{q>k(x)} : (<pj,щ) = 0 при всех j >п . Тогда а(х) s0. Но выражение (20) есть
левая часть однородного интегрального уравнения с ядром K(n\x,t) и, следовательно, X. и (pj(x) при j>n являются характеристическим числом и
соответствующими собственными функциями ядра K(n\x,t).
Докажем обратное. Пусть ju и у/(х) - характеристическое число и
соответствующая ему собственная функция ядра K(n)(x,t). Тогда
ь
у/(х)~/и\К(п)(х,t)y/(t) dt = 0
а
или с учетом представления (19)
у/(х) -jujK(x, t)y/(t)dt + ju? (у/, <р.) = 0. (21)
а '=1 Л
Умножим скалярно обе части тождества (21) на <рт(х), где \ <т<п. Тогда с учетом ортогональности системы собственных функций {(рк(х)} имеем
(У>,<рт)-И(К1у,рт) + р!У^ = 0. (22)
Я
т
По условию ядро K(x,t) симметрично и срт(х) является собственной функцией этого ядра, поэтому в силу равенства (2) и Ксрт =(pmjХт имеем
Тогда из равенств (22) и (23) получим
(у/,К(рт), т = 1, 2, •••, п, следовательно, равенство (21) с учетом (24) принимает вид
ь
у/(х)- /и |К (х, t)y/(t)dt = 0.
а
Из последнего равенства следует, что // и у/(х) являются соответственно характеристическим числом и соответствующей собственной функцией ядра K(x,t). В таком случае /л и у/{х) содержатся соответственно во множестве характеристических чисел и собственных функций ядра K(x,t). В силу равенства (24) функция у/(х) ортогональна ко всем функциям (р((х), где
i = 1 ,п . Тогда она может совпадать только с какой-либо собственной функцией из системы {(рк(х)} с индексом т>п .
Следствие 1. Наименьшее по модулю характеристическое число ядра K{n\x,t) есть Лп+1, если только ядро K(x,t) имеет более п характеристических чисел.
Следствие 2. Если K(x,t) имеет только конечное число характеристических чисел А-2, •••, Лл, то ядро K(n)(x,t) не имеет вовсе характеристических чисел.
Поскольку ядро K^n)(x,t) симметрическое, то в силу леммы 4
K(n){x,t) = 0. Тогда из равенства (19) следует, что
т.е. в этом случае ядро K(x,t) является вырожденным.
Ранее в § 5 было показано, что всякое вырожденное ядро имеет только конечное число характеристических чисел. Сопоставляя эти результаты, приходим к следующему утверждению.
Следствие 3. Для того чтобы симметрическое ядро имело конечное число характеристических чисел необходимо и достаточно, чтобы это ядро было вырожденным. В этом случае ядро может быть представлено в виде
