Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
('2)
D2(ji) п=о
Теперь задача сводится к нахождению радиуса сходимости /л0 ряда (12). На основании неравенства (11) отношение А2п/А2п+2, оставаясь положительным, убывает, поэтому оно стремится при п —» +со к определенному пределу /л0,
который является радиусом сходимости ряда (12).
Таким образом,
4 =/j0 = lim ¦
rt->оо А
Л2л+2
Итак, доказано, что у всякого симметрического ядра существует хотя бы одно характеристическое число. Рассмотрим множество всех характеристических чисел данного интегрального уравнения с симметрическим ядром. Это множество является конечным или бесконечным; в последнем случае это множество не имеет конечной предельной точки. Следовательно, данное множество характеристических чисел может быть перенумеровано в порядке возраста абсолютных величин, т.е.
|Я,|<|Я2|< <|Я„|< . (13)
Если каждому характеристическому числу соответствует одна собственная функция (с точностью до произвольного постоянного множителя), то всему спектру (13) характеристических чисел будет соответствовать последовательность собственных функций :
<Р№%<Р2{х), —,<рк(х), , (14)
которые мы можем считать нормированными, выбирая надлежащим образом постоянные множители. В силу леммы 1 собственные функции из (14) ортогональны на промежутке [а,Ь\. В данном случае последовательность (14)
содержит все собственные функции данного интегрального уравнения и называется полной ортонормированной системой собственных функций данного ядра или интегрального уравнения.
Также возможен случай, когда характеристическому числу А соответствует конечное число линейно независимых собственных функций: ^,(х), ц/2(х), ¦¦¦,y/q(x) . Функции ^,(х) как соответствующие одному и тому же
характеристическому числу, не будут, вообще говоря, ортогональны между собой. В связи с этим систему q линейно независимых функций
^,(х), ц/2(х), ¦¦¦,y/q(x) заменим их линейными комбинациями, которые обозначим через ф1,ф2,---, фч так, чтобы они стали ортонормированными. Выполнив такое преобразование системы функций цг в систему функций ф , мы
построим полную ортонормированную систему собственных функций данного интегрального уравнения. В силу доказанной теоремы 5 § 6 каждому характеристическому числу симметричного ядра соответствует лишь конечное число q собственных функций.
Число q линейно независимых собственных функций, соответствующих одному и тому же характеристическому числу А, равно кратности этого числа Я, как корня уравнения D(A) - 0 (см. § 6).
Под спектром интегрального уравнения будем понимать последовательность всех характеристических чисел (13), записанных в порядке неубывания абсолютных значений, при этом, если какому-нибудь характеристическому числу Я отвечает q собственных функций, то это число Я повторяется в последовательности (13) q раз, относя каждому из них одну
собственную функцию. При такой договоренности спектру (13) будет взаимно однозначно соответствовать последовательность собственных функций (14), образующая ортонормированную систему на сегменте [а,Ь\. Такая последовательность содержит все собственные функции данного ядра K(x,t) и поэтому называется полной.
Лемма 5. Характеристическое число симметрического ядра является всегда простым полюсом резольвенты.
Доказательство. Пусть Я0 является характеристическим числом
симметрического ядра K(x,t). Тогда в силу теоремы 2 §6 число Я0 есть простой или кратный полюс резольвенты. Поскольку резольвента является отношением двух целых функций, то в малой окрестности точки Я = Я0 ее можно представить в виде
R(x, t, А)= a/X’° +-fl'-|(-M) +.„ +jRo(x> t X), (15)
(A-Aoy (A-A0) A-A0
где ar(x, t) не равен тождественно нулю на квадрате D, a R0(x,t,A) -аналитическая функция относительно А в малой окрестности точки А = А0, причем все а, (х, t) е C(D), i = 1, г.
Рассмотрим интегральное уравнение резольвенты (см. § 6, п. 1)
ь
R(x, t, А)-К{х, t) = (А — А0) jK(x,s)R(s, t, A)ds +
+ А0^К (x, s)R(s, t, A) ds.
Допустим, что r> 1. Подставляя (15) в интегральное уравнение (16) и
приравнивая коэффициенты при (Л-Л0)“г+1, получим
ь ь
ar_j (х, t) = А0 ^K(x,s)ar_x (s, t)ds+ \K{x,s)ar (s, t)ds . (17)
a a
Затем приравнивая коэффициенты при степени (А - А0)~г, найдем
ь
ar (х, t) = А0 jK(x,s)ar (s, t)ds. (18)
а
Умножим (17) на ar(x,t), а (18) - на аг_х(х, t) и проинтегрируем их
