Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
г = {(х0,х,,...,хл)|а=х0 <xi <...<хм <xt <...<хп =b}, которую назовем т - разбиением сегмента [а, Ъ] на частичные сегменты [хм, х; ], где i = 1, 2, п = \,п . Длину частичного сегмента [хм, х(.] обозначим через Д xi,= х(. - хм. Длину наибольшего из отрезков [x^xj,
i = l,n, обозначим X. Число X называется диаметром г-разбиения сегмента [а,Ь\ на частичные сегменты. Ясно, что Л = Л(т) зависит от способа разбиения т сегмента [a, h\. Ha каждом из частичных сегментов [х(._,,х(.],
i = \,п , возьмем произвольную точку и составим сумму
<т = /(?)Лх, +/(&)Д*2 +...+/К.)Ддг. = ? /(?)Дх,.
1=1
Сумма сг называется интегральной суммой функции / по отрезку [а, Ь~\. Она
зависит от разбиения т сегмента [а, Ь\ и от выбора точки ? из частичного сегмента [д:м, х(].
Определение 1. Определенным интегралом функции / на сегменте [а, 6] называется предел интегральной суммы сг при Л —> 0, причем этот предел не должен зависеть от способа разбиения т сегмента [а, Ь\ и от
выбора точек из частичных сегментов [х(._,, х, ], i = 1, п, и обозначается символом
def
= Иш ст. (1)
я—> о
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Если существует конечный указанный предел (1), то функция / называется интегрируемой на сегменте [а, 6] по Риману1.
Из определения 1 следует, что если функция / интегрируема на [а, Ь], то она ограничена на {а, 6]. Таким образом, ограниченность функции / на сегменте [а, Ъ], будучи необходимым условием для ее интегрируемости, не является вместе с тем достаточным. Например, функция Дирихле2
1, х€0П[я,6],
О, x?jf\[a,b]
является ограниченной на [а, 6], но она неинтегрируема на этом сегменте.
Отметим достаточные условия существования определенного интеграла.
Теорема 1. Если функция / определена и монотонна на сегменте {а, Ь], то она там интегрируема.
Теорема 2. Если функция / непрерывна на сегменте [а, 6], то она там интегрируема.
Приведем некоторые свойства определенного интеграла, которые нужны для дальнейшего изложения.
Свойство 1°. Если функция / определена в точке a , то полагают
| f(x) dx = 0.
a
Свойство 2°. Если функция / интегрируема на [а, 6], то полагают
] f(x)dx = -\f(x)dx.
Ь а
Свойство 3°. Если функция / интегрируема на [а, 6], то она интегрируема на любом сегменте [с, d~\ а [а, 6].
1 Риман Бернгард (1826 - 1866) - немецкий математик.
2 Дирихле Петер Густав Лежен (1805 - 1859) - немецкий математик. 40
Свойство 4°. Если функция / интегрируема на сегментах [а, с] и [с, Ь], то она интегрируема на [а, Ь], причем
lf(x)dx = ]f(x)dx+ \f(x)dx.
а а с
Пусть функция / интегрируема на [а, 6]. Тогда она в силу свойства 3° интегрируема и на любом сегменте [а, х], где а<х<Ь, т.е. при каждом х из
[а, Ъ] имеет смысл интеграл \f(t)dt. Следовательно, этот интеграл на [а, Ь]
а
задает новую функцию
F(x) = ]f(t)dt, (2)
а
которая называется интегралом с переменным верхним пределом.
Укажем свойства функции (2).
Теорема 3. Если функция / интегрируема на [а, Ь\, то функция (2) непрерывна на этом сегменте.
Теорема 4. Если функция / интегрируема на [а, 6] и непрерывна в
точке х0 € [а, Ь], то функция (2) дифференцируема в точке х0, причем
F'(x0) = f(x0).
Из этих теорем следует существование первообразной для произвольной непрерывной функции.
Теорема 5. Если функция / интегрируема на [а, Ь] и непрерывна на
интервале (a, b), то на сегменте [а, 6] существует ее первообразная. Одной из ее первообразных является функция, определенная формулой (2).
Действительно, по теореме 3 функция F (х) непрерывна на [а, Ь], а по теореме 4 она на интервале (а, Ь) дифференцируема и F' (х) = f (х). Следовательно, функция F(x) является первообразной функции / на [а, 6].
На основании этих фактов и определения неопределенного интеграла можно написать равенство
\f(x)dx = ]f(t)dt + C,
а
тем самым установлена связь между неопределенным и определенным интегралами непрерывной функции /, заданной на сегменте [а, 6].
Аналогично определяется функция
ь
Ф (х) = jf(t)dt, a<x<b.
х
На основании свойства 4° имеем
\f{t)dt = X\f{t)dt+\f{t)dt. а а х
Отсюда Ф(х) = jf(t)dt-F(x) и в силу теоремы 4 получим
а
