Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
У (X) ~ У (X)= 1 > xeR. (20)
Из самого уравнения (18) получим начальное условие
3'WU = 3'(0) = 1. (21)
Итак, решение уравнения (18) эквивалентным образом сведено к решению задачи Коши (20) и (21). Дифференциальное уравнение (20) является линейным уравнением первого порядка и на основании результатов п. 5 § 2 гл. 3 найдем
общее решение у(х) = -\ + Сех, где С - произвольная постоянная. Удовлетворяя общее решение начальному условию (21), найдем значение
С = 2. Тогда решение задачи (20) и (21), стало быть, и уравнения (18) имеет
вид : у(х) = 2ех -1.
б) Обе части интегрального уравнения (19) продифференцируем по х два раза. Тогда получим
]y(t)dt = \ + y(x), (22)
0
у(х) = у'(х). (23)
Из равенства (22) при х = 0 найдем начальное условие
Я*)и = Я0) = -1. (24)
Решение задачи (23) и (24) не представляет труда и оно определяется равенством у = -ех.
Пример 3. Доказать, что все решения дифференциального уравнения
_1_
1 + х2 + у2(х) ограничены на R.
Решение. Дифференциальное уравнение (25) является нелинейным
уравнением второго порядка. Его правая часть / (х, у) =--------------j-----
1 + х + у
непрерывна на плоскости R2 и имеет там ограниченную частную производную
446
/(*)= т—1-------- xeR' (25>
fy(x> У) - Тогда по теореме 1 § 3 гл. 3 все решения у(х) уравнения (25) являются непрерывно дифференцируемыми на R. Из уравнения (25) следует, что У(л;)>0 при всех xeR. Следовательно, все решения уравнения (25) являются строго возрастающими на R. Теперь докажем, что эти решения ограничены на R . Пусть х - любая, но фиксированная точка числовой прямой. В уравнении (25) х заменим t и обе части его интегрируем по t от 0 до х (предполагая х>0, случай х<0 рассматривается аналогично)
Пример 4. Найти уравнение у = у(х) кривой Г, лежащей в полуплоскости ^>0, зная, что площадь треугольной фигуры ABC, ограниченной осью х = 0, кривой Г и перпендикуляром, опущенным из любой точки С кривой Г на ось ординат, равна 1/к, к> 1, части площади прямоугольника OBCD (рис. 3).
Решение. Пусть С(х, у), где у = у(х), произвольная точка кривой Г, заданной уравнением у = у(х). Тогда площадь криволинейной трапеции OACD равна определенному интегралу
при этом предполагается, что функция у (t) непрерывно дифференцируема на (0, х] и интегрируема на [0, х], т.е. интеграл (26) при любом х>0 сходится. Если кривая АС лежит ниже прямой ВС, то (рис. 3, а).
или
Отсюда
Итак, при всех х е R справедлива оценка
|yW|<b(0)|+|.
X
(26)
о
о к к
Если кривая АС лежит выше отрезка ВС (рис. 3, б), то
1 к +1
jy(t)dt = ху—ху =----------------ху-аху.
(27)
Итак, для определения у(х) получим интегральные уравнения (27) и (28),
которые являются уравнениями Вольтерра.
Продифференцировав уравнения (27) и (28), имеем
аху' = (\-а)у и fixy' = (1-Р)у.
Решая эти дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, найдем два семейства кривых:
\-а 1
у(х) = С,х “ = CjX*-1, С, > 0;
hi _J_
.у (х) = С2х р = С2х t+1, С2> О,
первое из них проходит через начало координат, а второе при х —> 0 + О стремится к + оо, асимптотически приближаясь к оси Оу. Следовательно, на рис. 3, а точка А = О, а на рис. 3, б точка А является бесконечно удаленной.
§ 5. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
Рассмотрим один частный, но важный класс интегральных уравнений Фредгольма второго рода, на примере которых хорошо видны основные утверждения Фредгольма, которые были получены им в 1904 г. для таких уравнений с непрерывным ядром
ф(х) - X \К(х, t)(p(t)dt = / (х), (1)
а
где а<х,1-йЪ, K(x,t) и /(х) - заданные непрерывные функции.
Определение 1. Ядро K(x,t) иинтегрзпьного уравнения (1) называется вырожденным, если его можно представить в виде конечной суммы произведений двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая только от t:
K(x,t) = a,(x)Z>,{t) + a2(.x)b2(t) + ... + an(x)bn(t) = iai(x)bi(0 ¦ (2)
1=1
