Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
так как в силу (4) у(х0) = 0. Отсюда после интегрирования по частям и с учетом условия у'(х0) = 0, получим
X
у(х) = ху'(х)- \tу"(0dt. (6)
*0
Пусть ф(х) = У'(х) = (У'(Х)У ¦ Тогда в силу (4) и (5)
X X
У(х) = J / (0 Л = JР (0 dt. (7)
*0 х0
В равенстве (6) производную у'(х) заменим выражением (7) и, принимая во внимание, что y"(t) = <p(t), найдем
X
у(х)= \(x-t)cp(t)dt. (8)
*0
Теперь, подставляя в уравнение (3) выражения (8) и (7) для у(х) и у'(х) соответственно, и с учетом у"(х) = ср(х) получим
X X
(р{х) + р(х) \<p(t)dt + q(x) j(x-t)(p(t)dt = f (х)
хо *0
ИЛИ
<p(x)+]K(x,t)<p(t)dt = f(x), (9)
*0
где
K(x,t) = p(x) + q(x)(x-t) , Л = -1. (10)
Таким образом, задача ((2) - (4)) сведена к однозначной разрешимости
интегрального уравнения Вольтерра второго рода (9) с непрерывным ядром (10).
Как известно из § 3 уравнение (9) однозначно разрешимо в классе непрерывных на [а, Ь\ функций. Определив функцию ф(х), мы найдем однозначное решение у(х) начальной задачи (2) - (4) в квадратурах по формуле (8).
Пример 1. Решить начальную задачу для дифференциального уравнения
у"(х) +у(х) = f(x) , xeR, (11)
где / (х) - заданная непрерывная на R функция,
.У(О) = У(0) = 0 (12)
путем сведения к интегральному уравнению.
Решение. В случае уравнения (11): р(х) = 0 и q(x) = 1, х0 =0. Тогда воспользовавшись формулами (10) и (9), получим
ф(х)+\(x-t)<p(t)dt = f(x) , (13)
О
где ф(х) = у"(х). Решение уравнения (13) построим, следуя п. 2 § 3. Для ядра К(х, t) = x-t вычислим по формулам (17) § 3 повторные ядра:
Кх (x, t) = К (х, t) = х -1,
К2(х, t) = \К(х, s)Kx (s, t)ds = j^x-s)^-?)^ = ———. i i 3!
K3(x, t) = \K(x, s)K2 (s, t)ds = l(x-s)———ds = ———,
/ / 3! 5!
K,(x,t)=(x
(2n -1)!
Тогда резольвента равна
R(x, t, -l) = (x-t)-(X~^ +... + (-1 ----+ ... .
3! (2л-1)!
Данный ряд в силу результатов § 11 гл. 1 (см. п. 3) представляет собой разложение функции sinz в степенной ряд по степеням x-t. Тогда
R(x, t, -1) = sin(x-0 и однозначное решение уравнения (13) определяется равенством
X
ф(х) = f(x) — J sin(х- t)f(t)dt. (14)
о
Подставляя (14) в равенство (8) найдем однозначное решение начальной задачи (11) и (12):
t
у(х)= I (x-t)
f(t)-lsin(t-s)f(s)ds
dt
- J (x-t) f (t)dt- J (x-t) J sin^-s) f (s)dsdt. (15)
0 0 0 В последнем повторном интеграле, переставляя порядки интегрирования
и вычисляя внутренний интеграл интегрированием по частям, получим
X t XX
\(x-t) Jsin(?-5) f(s)dsdt= j f(s)ds J(jc — 0sin(^ — лг) dt =
0 0 Os
x
= j[(x-s)-sm(x-?)]/(s)d.s\ (16)
0
С учетом (16) равенство (15) принимает вид
X
у(х) = jsin(x-t)f (t)dt. (17)
о
Таким образом, существует единственное решение задачи Коши (11) и
(12) и это решение определяется равенством (17).
Часто решение интегрального уравнения Вольтерра сводится к решению начальной задачи для дифференциального уравнения, если искомое решение обладает соответствующей гладкостью.
Пример 2. Решить интегральные уравнения
X
а) у(х)-х + 1+ $y(t)dtt xeR, (18)
0
х х
б) j(x-t)y(t)dt = х+ jy(t)dt, х е R (19)
о о
путем сведения к начальной задаче для дифференциального уравнения.
Решение, а) Обе части уравнения (18) продифференцируем по переменной х, тогда имеем
