Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
at
где функции ft(x) и dfjdxj , i,j = 1, п, определены и непрерывны в области
D a R". Тогда D является фазовым пространством системы (4).
Систему уравнений (4) называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.
Например, автономная система х[ = х2, х'2 = —хх имеет общее решение
хх =CjCos(^ + C2), x2=Cxsin(t + C2).
В пространстве R3 переменных хх, х2, t эти функции изображаются винтовыми линиями, а в фазовом пространстве переменных хх, х2 (здесь оно вся плоскость R2) - окружностями х[ +х2 = С\. Каждая окружность изображает бесконечное множество решений, отличающихся только значениями С,. Точка хх = х2 =0 является особой точкой - центром.
2. Свойства решений автономных систем
Лемма 1. Если х{ = <р,(0, 2 = 1, п, - решение автономной системы (4),
то для любой постоянной С х = (pt(t + С), i = \,n, также является
решением этой системы.
Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции
имеем
— (рМ + С) = —-— ((р-М + с» d(-t + c> = + С). (5)
dt 1 d(t + C) ' Л '
По условию при любом ? е i? справедливы равенства
<Р,'(0 = /(<?!(О, <Р2(0, - 1 = 1, л.
Заменяя в этих тождествах t на t + С , получим
p|(f + C) = /-(^(f + C), <p2(t + C),... ,cpn(t + C)), 2=1, л. (6) Тогда из равенств (5) и (6) следует требуемое утверждение.
Лемма 2. Если х; = <р.(t) и х; = (//(?), г = 1, л, - бва решения системы (4) и щ (Г,) = (// (г2), то (//¦ (7) = <р(. (t + C), где C-tx-t2,m.e. если траектории
xi=(Piit) и xi=y/i(t), г = 1, и, имеют общую точку, то эти траектории совпадают.
Доказательство. В силу леммы 1 функции *,. = ?>,.(; +С), г = 1, л, C = tx-t2, являются решением системы (4). В силу равенства = Wi(t2)
при t = t2 имеем
xi(t2) = <РМ2 + Q = <Р,(*i) = Vtti) ¦
Следовательно, решения xi = <pl(t + C) и xi =y/t(t), 2 = 1, и, удовлетворяют при t~t2 одинаковым начальным условиям, поэтому, в силу единственности решения задачи Коши для системы (4), они совпадают, т.е. <р(.(/ + С) = ул(0>
2=1, П .
Лемма 2 показывает, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, при этом второе решение описывает ту же самую траекторию, что и первое, но с «запозданием» на время С.
Следствие 1. Решение автономной системы (4) не может войти в особую точку за конечное время.
Доказательство. Пусть а = (аг, а2, ..., ап) - особая точка системы (4), т.е. X,. = а- является решением этой системы. Если трактории решений х(. = ai и xi~9iif) не совпадают, то они не имеют общих точек. Следовательно,
(p{(t) Ф ai при всех t. Решение <p{(t), 2 = 1, л , системы (4) может приближаться к особой точке только при t —> + со или t —> - со.
Лемма 3. Решения автономной системы (4) обладают групповым свойством, т.е. если х = cp^t, х(}), i = \,n, - решение системы (4),
удовлетворяющее начальному условию: <рДО, х0) = х(0), i -I, п, то
<pl{t,(p(T,x0)) = (pi(t + T,x0). (7)
Доказательство. Пусть х(|) = <р1(т,х0), i = 1, л. Тогда ф\1) = (pi(t,(p(T,xQ)) = (p^t,^,х(Х), —,х^)) , г' = 1,л, - решение системы (4). В сипу леммы 1, ф{2)^) = (p((t+ t,xq) , / = 1,л, также является решением системы (4). При этом в точке t = О:
^!)(0) = q>.(0,х11),х^,... ,х™) = xj1}, i = 1, л ;
^2)(0) = рДг,**0*, х<0), ... ,х<0)) = , г = 1, п .
Следовательно, решения ф\Х)(t) и ф-2)(t) системы (4) удовлетворяют одним и
тем же начальным условиям. Тогда на основании теоремы единственности они совпадают. Тем самым справедливость равенства (7) доказана.
Наглядный смысл леммы 3 состоит в следующем: чтобы выяснить куда точка х0 переместится за время t + т, надо выяснить, в какую точку она перейдет за время t, а затем, куда эта вторая точка перейдет за время г .
Определение. Пусть xt = (p^t), i = \,n, - решение автономной системы (4), определенное на всей прямой - оо < t < + оо. Число С называется периодом решения х; = (p^t), i = \,n, если (pt{t + С) = (pt{t), i = 1, п, при всех t е R.
Пусть F - множество всех периодов решения Xi=<Pi(t), i = l, л, системы (4). Это множество непусто, так как 0 е F .
Лемма 4. а) Если CeF, то -CeF. б) Если Cl,C2eF, то С, + С2 е F. в) F - замкнутое множество.
Доказательство, а) Поскольку С - период, то для любого t: фЛ (t + С) = ф{(t), г = 1,л. Заменяя в этом тождестве t на t-C, получим ф1 (t) = <pi(t - С), i=l, л , и это означает, что - С есть период.
б) ф^ + Сг +C2) = q>l(t + Cl) = q>i(t), i' = l, л.
в) Пусть С0 - произвольная предельная точка множества F. Тогда существует последовательность С„ из F такая, что lim Сп =С0. Тогда в силу
п
