Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. Найти тип особых точек и расположение интегральных кривых уравнения
dy \ + у —х2 + у2
— =------------— . (32)
dx 2 ху
Решение. Решая систему алгебраических уравнений: 2ху = 0,
1 + у-х2 + у2 = 0, найдем особые точки: (-1,0) и (1,0). Поскольку уравнение
(32) не меняется при замене х на —х, то его интегральные кривые
симметрично расположены относительно оси х = 0, поэтому достаточно
исследовать тип особой точки (1,0). Для этого вводим новые переменные:
х = хх +1, у = ух. Тогда уравнение (32) примет вид
dyx _ -2хх -х\ +у2
dx j 2ух + 2ххух
которое имеет особую точку хх =0, ух = 0. Для определения типа этой точки составим характеристическое уравнение
-А 2
= А- А + 4 = 0.
-2 1-А
Корни этого уравнения комплексно-сопряженные
. _ 1 + /Ч/15 1-/VT5
2 2 2 ’ причем ReAj ^ReAj =1/2 >0, следовательно, особая точка (1,0) уравнения (32) есть неустойчивый фокус. Отметим, что ось х = 0 является интегральной кривой, где y'(t) = l + j; + j;2>0.
Интегральные кривые уравнения (32) приведены на рис. 19.
t
х
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства
1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка
В § 3 (см. п. 2) была дана геометрическая интерпретация решения нормальной системы дифференциальных уравнений как интегральной кривой в (п + l)- мерном пространстве переменных (х,у1,у2,...,уп). Тогда теорема
существования и единственности решения задачи Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области
пространства Rn+l проходит единственная интегральная кривая.
Здесь дадим еще одну интерпретацию системы дифференциальных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений в механике и физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее
рассматривать как время; искомые функции обозначим через х1гх2,... ,хп и
будем считать, что они задают закон движения х{ = х{^), г=1,и,
материальной точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек п - мерного пространства, которое и называют фазовым
пространством переменных (х1,х2,... ,хп) = х. Тогда нормальная система
дифференциальных уравнений первого порядка примет вид
Система (1) в каждый момент времени t в данной точке (хг,х2, ... ,хя) фазового пространства определяет вектор скорости / = ••• ,/„) движущейся
материальной точки, т.е. система (1) задает поле скоростей в пространстве (х1,х2, ... ,хп). Решением системы (1) является такой закон движения
х = x(t) = (xx{t),x2{t),..., xn(t)) материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость /. При такой интерпретации система (1) называется динамической системой, а каждое ее решение - движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (1), так как интегральная кривая
расположена в Rn+1). Задача Коши для системы (1) теперь состоит в том, что
dt
(1)
xi(*o) = Ф&о) = xi0). * = 1, и - (2)
Это значит, найти закон движения
xi = (Pi{t,t0,x\0),х^, , х(п0)) = <pi(t,t0,x0), (3)
определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t0 занимала начальное положение
= ( (0) (0) (0)4
л0 \.Л1 5 2 ’ ••• » лп ) ¦
Для обеспечения существования и единственности решения задачи Коши для системы (1), т.е. задачи (1) и (2), предположим, что все функции
.. ч д f-(t, х)
j.(t, х) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ——----------------,
дхк
к = 1,п, в цилиндрической области Q = Dx(- со,+ со), где D - ограниченная
замкнутая область пространства R” переменных (хх,х2, ... ,хп), t е (- оо, + оо).
В силу теоремы Пикара решение (3) задачи Коши определяется в малой
окрестности точки (t0, х0) области Q. Будем предполагать, что это решение
продолжено на всю числовую ось - оо < t < + оо .
Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда ее правые части явно не зависят от t:
dx. ----
-r = fi(x1» *2> - > Xn) = fi(X)’ i = (4)
