Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. Исследовать особую точку уравнения
dy _~х + а у
dx
, a eR,
(28)
ах + у
и нарисовать поведение интегральных кривых.
Решение. Корни характеристического уравнения
а-Л 1 , ,
— Л — 2 ссЛ + ос +1= 0
-1 а-Л
комплексные A^=a + i, A^=a-i. Если а = 0 , то особая точка (0,0) - центр. В этом случае интегральные кривые - концентрические окружности х2+у2=С2 с центром в точке (0,0). Поведение интегральных кривых показано на рис. 15. При а Ф 0 особая точка (0,0) - фокус, причем устойчивый, если а < 0, и неустойчивый, если а > 0 . В этом случае интегральные кривые -спирали, наматывающиеся в точку (0,0). Поведение интегральных кривых приведено схематически на рис. 16 и 17.
Чтобы найти направление движения на интегральных кривых от уравнения (28) перейдем к системе
dx dy
— = ах+у,— — —х + а у. dt dt
(29)
Строим в точке (1,0) вектор скорости
dx dy
. В силу системы (29) он в точке
dt dt
(1,0) равен вектору {а,-1}. При а< 0 этот вектор соответствует движению по траекториям по часовой стрелке к точке (0,0). Когда а > 0 вектор {а,-1} соответствует движению по траекториям системы (29) также по часовой стрелке, но только от особой точки (0,0) .
Пример 3. Определить тип особой точки системы уравнений
*=2 у, (30)
^- = 2х + 3у, dt
dt
и нарисовать схематическое поведение траекторий.
Решение. Составим характеристическое уравнение
-А 2
= А - 3 А - 4 = 0 .
2 3-А
Корни этого уравнения \ = -1, = 4 действительные и разных знаков,
следовательно, особая точка (0,0) - седло. Найдем прямые (асимптоты), разделяющие семейство траекторий (гипербол) системы (30). Эти прямые ищем в виде у = кх. Подставляя у = кх в уравнение
dy _2х + 3у dx
2 у
найдем уравнение для определения к :
1 2-f- Ък j «> ri гк
к =-о 2к -ЗА:-2 = 0.
2 к
1
Отсюда кх =-^ и к2= 2. Итак, искомые прямые имеют уравнения: у = -х/2 и
у = 2х. На прямой у = -х/2 система (30) принимает вид: x'(t) = -x,
y\t) = -y. Вдоль этой прямой точка (x(t), y(t)) траектории с ростом времени t движется в направлении к началу координат, так как x'(t) > 0 при х < 0 , а y'(t) < 0 при у > 0 и x'(t) < 0 при х > 0, а У(0 > 0 при у < 0. Вдоль прямой система (30) имеет вид: x'(t) = Ах, y'(t) = Ау . Отсюда следует, что точка (x(t),y(t)) на прямой у = 2х движется в направлении от начала координат. Поведение траекторий системы (30) изображено на рис. 18.
Рис. 18
При исследовании на наличие особых точек (jc0, ) более общей
системы (4) или уравнения (3) без ограничения общности можно предполагать, что х0=0 и >’0=0, так как к этому случаю всегда можно привести путем замены переменных
х = х0 + х1, у = у0 + уг-Пусть Р(0,0) = Q(0,0) = 0 и предположим, что функции Р и Q в некоторой окрестности начала координат не имеют других общих нулей и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда на основании формулы Тейлора функции Р и Q в окрестности точки (0,0) можно представить в виде:
ЭР(0,0) ЭР(0,0)
Р(х,у) =
дх
¦х + -
ду
¦ у + ф(х,у) = ах + Ьу + ф(х,у) ,
ч 30(0,0) dQ( 0,0) . . . .
Q(x,y) = —---------x +----------y + y/(x,y) = cx + dy + y/(x,y) ,
дх ду
где ф(х,у) и у/(х,у) - бесконечно малые функции при х -» 0 и у 0 более
высокого порядка, чем
г = л]х2 + у2 , т.е. при 0 < s < 1
Нш = Ии УЬьА =0
О Г1 + Е г-> 0 у
Предположим еще, что действительные части корней \
и
характеристического уравнения (8) отличны от нуля. Тогда оказывается (см. [15, гл. 11, § 2]) особая точка (0,0) системы
— = ах + by + ф(х, у), — = сх + dy + y/ (х,у) dt dt
(31)
будет того же типа, что особая точка системы (5), получаемой отбрасыванием функций (р{х,у) и цг(х,у). При этом угловые коэффициенты направлений, по которым траектории входят в особую точку, для системы (5) и (31) одни и те же. Однако прямым у — кх для системы (5) могут соответствовать кривые для системы (31), а в случае фокуса - направление закручивания для систем (5) и
(31) одно и то же.
Если корни характеристического уравнения (8) чисто мнимые, т.е. когда для системы (5) особая точка есть центр, то для системы (31) она может быть фокусом или центром, так как в этом случае линейные относительно х и у части системы (31) не определяют характера особой точки. Требуется дополнительное исследование. Для наличия центра достаточно, но не необходимо, чтобы траектории системы (31) имели ось симметрии, проходящую через исследуемую точку. Ось симметрии существует, если уравнение (3), к которому можно отнести систему (31), не меняется при замене х на —х или у на -у. Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (31) было асимптотически устойчивым при t —» + °о или при t — «э.
