Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
две полуоси Т] = 0 и две полуоси ? = 0. Всякая же другая интегральная кривая, приблизившись достаточно близко к точке (0,0), потом начинает от нее удаляться. Такая особая точка называется седлом, или седловиной.
Рассмотрим теперь уравнение (11), которое соответствует случаю кратных корней А, = = Л. Общее решение имеет вид
»7 = C# + #ln|#|. (25)
Поведение интегральных кривых (25) указано на рис. 11. Все интегральные кривые касаются в точке (0,0) оси ^ = 0. Из координатных осей только ось ? = 0 является интегральной кривой. Точка (0,0) в этом случае есть также
узел, как и при к > 0. Узел, соответствующий этому случаю, называют еще вырожденным.
Рис. 11
Уравнение (10), которое соответствует случаю комплексно-сопряженных корней Ях= p + iq и = p-iq, q Ф 0, легко интегрируется, если предварительно его приведем к виду (20):
(? + кт}) di; + (т} - ki;) drj = 0
или
? di; +Tjdrj = k(i;dj)-7jdi;) .
Разделив обе части данного уравнения на <^2 + rj2, имеем
Zd% + T]dTi ^drj-rjdS,
?•2 . 2 ?г2 , 2 1
? +/7 # +/7
— Jln(^2 + /72) = ? darctg—.
2 'г
Отсюда
Ы^2 +т]2 = к arctg — + In С ?
ИЛИ
I------- ? arctg—
^2+т]2=Се *,С> 0.
Вводя полярные координаты ? = р cos ср, т] = psin$>, находим
р = Сек<р. (26)
Уравнение (26) задает на плоскости (?,/7) семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. Если А: > 0, все интегральные кривые приближаются к точке (0,0) без определенной предельной касательной, совершив около точки (0,0) бесконечное число оборотов при (р —> —оо (рис. 12). При к < 0 то же самое происходит, когда (р ->¦ + оо. В этих случаях особую точку называют фокусом.
Если к = 0, то семейство интегральных кривых представляет собой семейство концентрических окружностей с центром в точке (0,0) (рис. 13). Через точку (0,0) не проходит ни одна интегральная кривая. Если некоторая окрестность особой точки (0,0) целиком заполнена замкнутыми интегральными кривыми, содержащими внутри себя (0,0), то такую точку называют центром.
Рис. 12
Итак, если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка - фокус; если чисто мнимые, то особая точка - центр.
Чтобы начертить интегральные кривые уравнений (6) или траектории системы (5) в случае узла, седла и вырожденного узла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку.
Эти прямые направлены вдоль собственных векторов матрицы
Если
{ос,/3} - собственный вектор этой матрицы, соответствующий собственному значению Я, то числа а и /? находятся из системы: (с-Я)а + dp = 0, аа + (Ь-Л)Р = 0. В случае узла интегральные кривые касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению Я. В случае особой точки фокус надо определить направление закручивания траекторий. Для этого надо эту точку исследовать по знаку Re/l и определить направление движения по траектории вокруг особой точки. Для определения направления движения достаточно построить в какой-нибудь точке (х,^) вектор скорости (dx/dt,dy/dt) по системе (5).
Пример 1. Определить тип положения равновесия и характер поведения траекторий системы
dx dy
— = х , — = х + 2у . (27)
dt dt
Решение. Система (27) имеет единственное положение покоя или равновесия х = 0, _у = 0. Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение
368
1-Л О
1 2~Л
Корни А, и Лз - действительные, различные и одного знака. Следовательно, положение равновесия (0,0) - узел, причем неустойчивый, так как А, > 0 и
А 0^|
^2 >0. Для Ац =1 находим собственный вектор {1,-1} матрицы , а для
U 2,
^=2 - собственный вектор {0,-1}. На плоскости хОу построим прямые, направленные вдоль этих векторов: х + у = 0 и х = 0. Остальные траектории касаются при подходе к точке (0,0) прямой х + у = 0, так как | Л, | < | ^ |. Поведение траекторий системы (27) приведено на рис. 14. Движение по траекториям происходит в направлении от особой точки (0,0). Так, например, если точка (х(0,у(0) траектории в момент времени t находится над прямой х + у = 0 и левее прямой х = 0,то x'(i)-x(i)<0 и y'(t) = x(t) + 2y(t) > 0 , т.е. x(t) убывает, a y(t) возрастает при возрастании времени t.
