Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
корень Aj в систему (16), найдем из (15) с точностью до множителя пропорциональности у и 8, а из второй системы (16) а и /3. При этом определитель
a р н *0.
у 8
В самом деле, если, например, аф О, то из первого уравнения системы (15) имеем 8/у = -(с — Я1)/а, а из первого уравнения системы (16): Р/а = -{с-Я^/а . Отсюда следует, что 8/уф р/а, т.е. а8 - Ру фО . Итак,
уравнение (6) при помощи замены (7), где а, Р, у, 8 уже определены,
приводится к виду (9):
*=А. (18)
<*? К
Пусть корни уравнения (8) комплексные: Лх= рл-qi,
A2=Xl=p-qi, q Ф 0. В этом случае при определении уже комплексных коэффициентов у и 8 из системы (15) и от и р из системы (16) можно распорядиться постоянным множителем пропорциональности так, чтобы у = а, 8 = р . Тогда замена (7) примет вид
? = а х + р у, Tj = а х + р у.
Переменные ? и г/ комплексные и при действительных х и у принимают комплексно-сопряженные значения:
? = u + io, т) = u-io, (19)
где и = (? + т])/2, o = {% — rj)/2i - действительные переменные. Подставляя (19) в уравнение (18), получим
dij du-idv _(p + iq) u-io
d? du + ido (p-iq) u + io
Отсюда после разделения действительной и мнимой частей имеем
(qu-po)du + (pu + qo)do = 0 (20)
или
р
U + — U
du qu + pu q
do po-qu Pu_u
q
т.е. в этом случае уравнение (6) свелось к уравнению вида (10), где к = p/q .
Пусть теперь корни уравнения (8) кратные: Я1=Я2= Я. Тогда у этого
уравнения дискриминант D - (b-с)2 + 4ad = 0 и Я1 = = Я = (Ь + с)/2 .
Подставляя эти значения в систему (16), имеем
^ а+ ар = 0, da р = 0. (21)
Эта система имеет ненулевое решение, так как ее определитель равен D/4 = 0.
Пусть a = aQ и /? = /?0 - произвольное ненулевое решение системы (21). Аналогичное преобразование для 77 мы не можем сделать, так как в противном случае определитель преобразования (7) был бы равен нулю. Поэтому за второе переменное примем tj = у, т.е. у = 0 и <5 = 1. Итак, имеем
4 ~ а0х + /30у, т] = у ¦ (22)
Определитель данного преобразования
«° Ро (Л
= ОСп Ф\) .
О 1 0
Тогда из уравнения (12) с учетом того, что у = 0, <5 = 1 и равенств (22), получим dr] _ ax + by _ а^-(а/30- /3a0)rj d?~ Ai; ~ айЦ Отсюда на основании(21)найдем
drj ^ а? + а0Ат]
d% а,Ц
Пусть аФ 0. Тогда, полагая в (22) ай=а/Я, Д, = (Ь — с)/21,
уравнение (23) приведем к виду (11). Если а = 0, тогда уравнение (23) примет вид
dr] _ /7
df=7’
которое получается из (9) при к - 1.
Теперь вернемся к уравнениям (9) - (11) и изучим поведение интегральных кривых в окрестности начала (0,0) системы координат (^, 77). Уравнение (9) легко интегрируется разделением переменных. Его общее решение имеет вид
Т1 = С\4\к,к = Л1/Л2- (24)
Пусть корни и Х2 характеристического уравнения (8)
действительны и одного знака. Тогда k = ^ > 0 . Поведение интегральных
кривых (24) уравнения (9) схематически изображено на рис. 7-9. Рис. 7 относится к случаю, когда к > 1. Здесь все интегральные кривые касаются в точке (0,0) оси /7 = 0, за исключением только половин оси ^ = 0. Сами оси ? = 0 и /7 = 0 являются интегральными кривыми, за исключением точки (0,0), где уравнение (9) не определено. При 0 < к < 1 (рис. 8) все интегральные кривые, за исключением только обеих половин оси /7 = 0, касаются оси ^ = 0. При к = 1 (рис. 9) интегральные кривые представляют собой пучок прямых, проходящих через точку (0,0). В противоположность предыдущим случаям, здесь угловые коэффициенты зтих касательных могут иметь всевозможные значения.
Итак, во всех случаях, когда к > 0, всякая интегральная кривая уравнения (9) подходит к точке (0,0) по определенному направлению, т.е. в точке (0,0) имеет определенную касательную. В таких случаях особую точку (0,0) называют узлом. Узел, соответствующий значению к = 1 называют еще дикритическим.
Пусть корни Л^ и Л2 действительны и разных знаков. Тогда к = А^/А^кО. Интегральные кривые определяются по формуле (24), которую перепишем в виде
rj\^\-k = C, к<0. (24')
Поведение интегральных кривых (24') приведено на рис. 10. В этом случае к точке (0,0) подходят как угодно близко только четыре интегральные кривые:
