Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
/(Ух’Ут) = -2 У, ~y2+F, (уиу2), /2(У1,У2) = аУх ~У2+Р2 (Ух,У2) ,
где F, = o(Jy>
+ У2) - удовлетворяют условиям второй теоремы Ляпунова.
Теперь найдем собственные значения матрицы коэффициентов линейной части, т.е. корни характеристического уравнения
-2-Я -1
-1-Л
— Л2 + 3 Л + 2 + а. — 0 .
. — 3 + Vl— 4 а. — 3 —s/l — 4 а ,
Отсюда Лх =-----------—-----, Л2 =---------------. При а > 1/4 - корни
комплексные, их действительные части отрицательные, а при -2 <а < 1/4 корни вещественные и отрицательные. Следовательно, при а>-2 нулевое решение системы (14) асимптотически устойчиво. При а<- 2 корень Лх> 0, а
Л2< 0, значит, нулевое решение неустойчиво. При а = -2 имеем Лх= 0, Л2 = - 6 и устойчивость в этом случае не может быть решена с помощью 2-й теоремы Ляпунова.
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя (положение равновесия) уравнения маятника
у" + arsing = 0, а = const > 0. (15)
Решение. Уравнение (15) равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка:
у[ =У2' y'l =- asinylt (16)
где >’1(0 = >’(0 ¦ Система (16) имеет положение равновесия в точках (пк, 0), к - целое число. В силу периодичности правых частей системы (16) по переменной ух, достаточно исследовать на устойчивость два положения : (0, 0) - соответствующее нижнему положению равновесия маятника и (л, 0) -соответствующее верхнему положению маятника. Система линейных уравнений первого приближения, соответствующая системе (16), в окрестности положения
359
~Ух У(>) =У2> ^ = -а(У1~Уо)со5у0. at at
Собственные числа матрицы коэффициентов этой системы определяются из уравнения
-Я 1
= Я +orcosiy0 = 0. (17)
- a cos у0 -Я
Если у0=7г, то уравнение (17) имеет действительные корни разных знаков, следовательно, в силу второй теоремы Ляпунова положение равновесия (л:, 0) неустойчивое. Если }>0=0, то корни (17) чисто мнимые, поэтому на основании второй теоремы Ляпунова нельзя сделать вывод об устойчивости или неустойчивости точки (0, 0). Для этого воспользуемся первой теоремой Ляпунова. Возьмем функцию
v(yi,y2) = aQ--cosyl) + y2/2.
Она положительна при yf + у\ > 0 и равна нулю только при ух = у2 = 0. Далее производная вдоль любого решения y{(t) , i = l,2 , (16) неположительна:
dv _ до dyx до dy2
= ct sin у, ¦y2~y2asmyx =0.
dt dyx dt dy2 dt Следовательно, в силу первой теоремы Ляпунова точка покоя (0, 0) устойчива.
Пример 5. Исследовать, при каких значениях параметров а и b асимптотически устойчиво нулевое решение уравнения
у”+ а у”+ Ь у'+ 2у = 0 . (18)
Решение. Поскольку уравнение (18) равносильно системе линейных уравнений
У\ = У2.
Г
У2 =Уз’ (19)
t
Уъ =-аУз-Ъу2-2ух, где y\(t) = y(t), и собственные значения матрицы коэффициентов системы (19) являются корнями характеристического уравнения, соответствующего (18), то на основании теоремы 3 необходимо и достаточно установить отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения
Яъ+аЯ2+ЬЯ + 2 = 0. (20)
В силу теоремы Рауса - Гурвица условия : а> 0, Ь> 0, аЪ> 2 являются необходимыми и достаточными для отрицательности действительных частей всех корней уравнения (20). Итак, при а> 0, Ъ> 0 и аЪ> 2 нулевое решение уравнения (18) асимптотически устойчиво.
360
Рассмотрим уравнение
У=Дх,У). (1)
где функция f(x,y) задана в некоторой области D a R2. Если в точке (x0,y0)eD и ее окрестности функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную по у, то через эту точку по теореме Пикара ( см. § 3) проходит одна и только одна интегральная кривая. В этом случае точку (х0,у0)
называют правильной или обыкновенной. Если же эти условия не выполняются, то такое утверждение может и не иметь места. Допустим, что в окрестности точки (х0,у0) функция f(x,y) является неограниченной. Возможны два случая.
Первый случай: f(x,y)-> оо при (х, у) -> (х0,у0). Тогда функция 1/f(x,y) ->0. Примем ее значение равным нулю в точке (х0,у0) и рассмотрим уравнение
dx 1
— =--------• (2)
dy fix, у)
Предположим, что для него в окрестности точки (х0,у0) выполнены условия теоремы Пикара. Тогда для уравнения (2) существует единственная интегральная кривая х-ср{у), проходящая через (х0,у0). При этом, когда
