Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
”л7= ^—1Г = 2у^ ~У2) + 2У2(У1-У2) = ~2(У1 +У2)^Ъ-dt ду\ dt ду2 dt
Кроме того, вне окрестности начала координат (yf+yl>S>0) производная строго меньше нуля:
do
где d - минимум функции 2(ух+у2) вне круга у\+у\<6. Тогда на основании первой теоремы Ляпунова точка покоя системы (11) асимптотически устойчива.
Пусть y.(t) = 0, i = l,n, - нулевое решение системы (1). Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций f(t,y1,y2,...,yn)
линейную часть в окрестности точки покоя : у} = 0, у2= 0, ..., уп- О,
например, по формуле Тейлора.
Полученную таким образом систему можно исследовать с помощью следующей теоремы.
Теорема 2 (вторая теорема Ляпунова - исследование на
устойчивость по первому приближению). Пусть правые части системы (1) имеют вид
п
/ 0, Ух, уг уя) = ? ед + Fi (*> Ух ’У2’-,Уп)’
7=1
где atj, i,j = 1, п, - постоянные, а функции Fi непрерывны по совокупности аргументов и бесконечно малые функции выше первого порядка при у. —>0, z = l, п, т.е. при всех t>t0 и | у{\ < d
| (^Ух,У2’-,Уп) \^М[\yxf+a +\y2(+a + - + \y„f+a]
или
\Fi{t,yl,y2,...,y„)\<r(y)\y\, r(y)-> 0 при |y|->0,
где | у | = -\y\ +y2 + ... + y2n , a , M - положительные постоянные. Тогда если все собственные значения матрицы А = (аи), i, 7=1, п, т.е. решения
уравнения \ХЕ — А\ = 0, Е - единичная матрица, имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво ; если же хотя бы одно собственное значение матрицы А имеет положительную действительную часть, то нулевое решение системы (1) неустойчиво.
Доказательство можно найти в работах [11], [15], [6].
Пусть в условиях второй теоремы Ляпунова все функции Fi(t,y1,y2,...,yn) = 0. Тогда система (1) становится линейной однородной с постоянными коэффициентами:
y'i =iaijyj’ i = 1’ n. (12)
;=i
Теорема 3. Для того чтобы нулевое решение системы (12) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все
собственные значения матрицы А = (aiJ ), i,j = l,n, имели отрицательные
действительные части.
Доказательство. Достаточность следует из второй теоремы Ляпунова.
357
Необходимость. Пусть хотя бы одно собственное значение Л матрицы А имеет неотрицательную действительную часть: RеЛ = Лх >0. Значению Я
соответствует решение y(t) = Re(Ae/1/) системы (12), где h - собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению Я. Пусть h =hx+ih2. Тогда решение y(t) = Re (heM) = Re[(/Zj + ih2 )е(Я‘+,Я2)'] =
= eXlt (A, cosA2f - h2 sinA2f) при t —> + оо не стремится к нулю.
Следовательно, нулевое решение системы (12) не будет асимптотически устойчивым.
При исследовании устойчивости точки покоя системы (1) по первому приближению важно установить, что все собственные значения матрицы А , т.е. все корни характеристического многочлена | ЛЕ - А | = 0, имеют отрицательные
действительные части. Известна следующая
Теорема Рауса - Гурвица. Для того чтобы у многочлена
Л + clxЛ" 1 + ... + &п_х Л + а.п — 0 (13)
с действительными коэффициентами а{ все корни имели отрицательные
действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы
r а1 1 0 0 . . 0"
аъ а2 а1 1 . 0
as а4 аъ а2 . . 0
Ка2п~\ а2п-2 а2п-Ъ а2л-4
(где а, = 0 при к > п) были положительными, т.е. чтобы
Aj = а, > 0, Д2 =
а,
1
А =
1
ап
*2/1-1 а2п-2
Последнее условие можно заменить на ап > 0 .
Отметим, что необходимым условием отрицательности всех
действительных частей корней уравнения (13) является at> 0, i = l,n. В
случае п < 2 это условие является и достаточным. Если п = 3, то условия Рауса - Гурвица такие :
ах > 0 , аха2 - аъ > 0 , аъ> 0.
аъ а2
О
О
= А , - а > 0.
л—1 п
Пример 3. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение системы
\у[=4й^г-е^\ (14)
= sin ojVj + In (1 — ), a = const.
Решение. Нетрудно заметить, что система (14) имеет нулевое решение У\ (0 = Уг(0 = 0 ¦ По формуле Тейлора для функции /(х,у) двух переменных с остаточным членом в форме Пеано
/ (х, у) = / (о,о)+/; (о,о) х+/; (о,о) у+о (Р),
где р = Vx2 +у2 - расстояние от точки (0, 0) до переменной точки (х,у), о(р) - бесконечная малая величина при р —> 0 более высокого порядка, чем р , выделим линейные части правых частей системы (14):
