Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
устойчиво, если Л > О, и неустойчиво, если Л <0.
б) Решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(0) = у0, задается формулой у (t) = yQe~‘ +t. Решение задачи с граничным условием у (0) = у0 (0) = 0 имеет вид y(t) = t. Тогда при t> 0 для разности решений имеем оценку:
I ДО-КОН Уо\е~'^\Уо\-
Отсюда, если | у0 —у01 <| у0 \ < S = е , то \ y(t)-y(t)\<s, т.е. решение y(t) = t устойчиво по Ляпунову. Это решение и асимптотически устойчиво, так как | y(t)~y(t) | = | уй | е* —> 0 при t —> + оо .
Исследование на устойчивость данного решения (pt (t), i = 1, п , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого решения л (О-о. z = l, п, другой системы, получаемой из (1) заменой искомой функции
xl{t) = yl(t)-<pt(t), i=l, л. (8)
Подставляя функции (8) в систему (1), получим
x'i=f;[t,Xl +(px{t), Х2 +(p2{t), ...,Xn+<pn{t)]~
-fii <Pi(0.^(0. %(0]- (9)
Как видим, система (9) имеет нулевое решение xt(t) = 0, i = 1, п . Это решение
в действительности не движется при изменении t, а стоит на месте. Поэтому
решение xi(t) = 0, i = 1, п , системы (9) называют положением равновесия или
точкой покоя системы (9).
С учетом этих рассуждений определения 1 и 2 эквивалентны следующему определению.
Определение4. Пусть в системе (1) f (t, 0, 0,0) = 0, i = \,n. Нулевое решение (p-^t) = 0, i = 1, n, системы (1) устойчиво по Ляпунову, если для любого ?>0 существует д> 0 такое, что всякое решение yt(t),
i = l,n, той же системы, начальные значения yj (t0) которого
удовлетворяет неравенствам
| yt (f0)|<?, i = l,n,
определено при всех t>t0 и справедливы неравенства : | y;(t)\<s, z = 1, п при t>t0. Если, кроме того, предел
lim I у.(t) I = 0, i = 1, п ,
/->+ оо 1 1
то нулевое решение <pi(t) = 0 называется асимптотически устойчивым.
Итак, устойчивость нулевого решения означает, что траектория любого движения, начальная точка которой находится в S -окрестности начала координат фазового пространства (у,,у2, ¦¦¦ ,У„) системы (1), при t > t0 не
выходит за пределы s - окрестности точки покоя.
Теорема 1 (первая теорема Ляпунова - исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова). Пусть: 1) функции
f(t, ух, у2, ¦¦¦, у„), df/dyk, i,k = \,n, определены и непрерывны при t>t0, -d < yt<d, г = 1, л, и (t, 0, 0,0) = 0; 2) существует непрерывно дифференцируемая функция о( ух, у2,..., yn), | yt\<d, удовлетворяющая условиям:
а) о( у„ у2,..., уп) = и( у)>0 при yf + у2 + ... + у2„ > 0 и о(у) = О
только при У, - У2 = ... = у„ = 0, т.е. функция о( у) является
положительно-определенной;
б) производная функции и( у) на любых решениях системы (1)
d°(y^ = ? ~ fi{t,y,(t), y2(t),...,yn(t))<0. d t /=1 ду{
Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.
Если вместо условия б) выполнено более сильное условие
a t i=i oyi
где w(y:, y2,..., yn) > 0 - непрерывная функция, равная нулю лишь в начале
координат, то нулевое решение асимптотически устойчиво.
Если производная dv(y(t))/dt функции о (у) на решениях системы (1) является знакоопределенной, а сама функция о (у) в любой окрестности начала координат не является знакопостоянной*1 знака, противоположного
Функция и(у) называется знакопостоянной в кубе -е0 < yt <е0, i = 1, и , если для всех у из данного куба или u(j/)<0. В первом случае функция о(у) называется
положительно-постоянной, а во втором - отрицательно-постоянной.
23 — 5026 3 53
знаку dv(y (t))/dt, то нулевое решение системы (1) неустойчиво.
Доказательство. I. В силу условия 1) через каждую точку области
| у; | < d и t > tQ проходит и притом только одна интегральная кривая системы
(1), так как выполнены условия теоремы существования и единственности решения для нормальной системы (1). Система (1) в указанной области имеет
нулевое решение у^) = 0, i = 1, п . Пусть s - любое число, удовлетворяющее условию 0 < s < d . Обозначим через Ке поверхность п - мерного куба : -? < yt<s , i = 1, п , и пусть ое = min о (у). Ясно, что ое> 0 . Выберем 8 :
О<8<е столь малым, чтобы на Ks и всюду внутри Ks было о(у)<о?.
Такое 8 существует, так как функция о (у) непрерывна и равна нулю в начале
координат, т.е. и(0) = 0. Тогда все интегральные кривые системы (1), начинающиеся при t = t0 внутри куба Ks, никогда при возрастании t не могут достичь поверхности Ке, что и означает устойчивость нулевого решения. Действительно, вдоль интегральной кривой yt{t), i = \,n, функция о(у, у:,..., у„) в силу условия б) убывает, так как
