Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
w [ й, у2, у3] = е2х 0 ё~х 1 0 1
е2* -ех -е~к 1 -1 -1
§ 13. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Многие задачи механики, физики, техники и других областей описываются системой дифференциальных уравнений, которая имеет бесконечное множество решений и для определения одного определенного решения нужно указать его начальные условия. В этих задачах важно знать не одно конкретное решение задачи, отвечающее данным начальным условиям, а характер поведения решения при изменении начальных данных и при изменении аргумента. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений, одним из основных разделов которой является теория устойчивости решения дифференциального уравнения или теория устойчивости движения.
Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений
y'i=fi(t,yx,y2,...,yn), 1 = 1, л, (1)
и начальными условиями :
УМ = У% 1=1, л. (2)
Пусть i = l,n - решение этой задачи. Пусть все f; и
д fjdyk , i, к = 1, п , - непрерывны при | yt(| < d и всех t > t0.
Определение 1 (устойчивость по Ляпунову). Решение ^, =^,(0-
z' = l, п , системы (1) называется устойчивым по Ляпунову*\ если для любого s > 0 существует д> 0 такое, что всякое другое решение у>=у№,
z=l, п, той же системы, начальные значения у:(t0) которого удовлетворяют неравенствам
| yi(to)~(Pi(to)\<S ’ i = Un, (3)
определено при всех t>t0 и справедливы неравенства
| yi(t)-q>i(t)\<e, 1 = 1» л , t>t0. (4)
Это означает, что каждое решение системы (1) с начальным условием из S-окрестности точки i = 1, n , при t0 <t <+ со существует и не выходит
из ? -окрестности графика решения у{ =<pt(t), i = 1, n .
Определение 2 (асимптотическая устойчивость). Решение yt -cp^t),
Ляпунов А.М. (1857 - 1918) - выдающийся русский математик, который создал теорию устойчивости решений дифференциальных уравнений.
350
i = 1, л , называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво по
Ляпунову, 2) все решения у{ {t), i = 1, л , системы (1) с достаточно близкими
начальными условиями неограниченно приближаются к (pt (t), z = 1, л , при t —>¦ + оо, т.е. из неравенств (3) следует, что
lim [ Х(0~^,(0] = 0, z = l, л. (5)
со
Условия 1) и 2) независимы. Из условия 1) не следует 2), так как из (4) не вытекает (5). Из 2) также не всегда следует 1).
Отметим, что наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора
точки t0. В самом деле, пусть при t = t0 решение yi=<Pi(t), г = 1,л, устойчиво, т.е. из неравенства (3) следует (4). Пусть tx - другой начальный момент tx >t0 (или tx <t0) и \ <a. Если a достаточно мало, то
из этого неравенства в силу непрерывной зависимости решения от начальных условий (см. § 5) следует неравенство | у^-ср^) \ < S при всех ??[*„,?,], а
отсюда и неравенство (4). Следовательно, решение у{=(рДО устойчиво при начальном моменте tx.
Определение3. Решение y^cpiit), i = l,n, называется неустойчивым, если существует s > 0 такое, что при всех 6 > 0, удовлетворяющих неравенству \у^0)-<р^0)\ <5, либо решение yt (t) с начальным условием
yi(t0) непродолжимо на промежутке [70,+ оо), либо оно продолжимо, но
существует t>t0 такое, что \ yt(t) -(p{{t) \> s.
Обычно при доказательстве неустойчивости решения пользуются неограниченностью разности | y{(t) ~<Р;(01 на промежутке [^0,+ °°) или тем. что эта разность стремится к +оо при t —> +оо .
Пример 1. Пользуясь определениями 1 и 2, выяснить, устойчивы ли
решения данных уравнений с указанными начальными условиями :
а)у' = -Лу, y(t0) = y0; 6)y' = l + t-y, у(0) = 0.
Решение, а) Общее решение данного уравнения имеет вид у (t) = Се~я*. Решение, удовлетворяющее начальному условию y(t0) = y0, определяется по формуле
у(0 = у0е^-(). (6)
Если теперь зададим другое начальное условие y(t0) = уй, то решением этой задачи будет
У (0 = У0еМ1в~О. (7)
Тогда для всех t > t0 и Я > 0 оценим разность решений (6) и (7):
\ y(t)~y(t)\ = \ Уо-Уо\еНкЧ) ^\Уо~Уо\-
Отсюда, если Л> О и | у0 -у01 < ? = ?¦, то | y(t)-y(t)\<s, т.е. решение (6)
устойчиво по Ляпунову. Это решение при Л> О также и асимптотически устойчиво, так как
lim | y{t)-y(t) |= lim | у0 -у0 | ея('°_0 =
(—>+ СО 1 (—>+ СО 1 1
= \Уо~Уо\ Нт ех^-°=0.
t^>+ СО
Если Л< 0, то решение (6) неустойчиво, так как каково бы ни было t0 при t > tQ решение (6) стремится к +оо при t —> + оо .
Итак, решение (6) устойчиво, если Л> 0, к тому же асимптотически
