Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 116

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 283 >> Следующая

Теорема 3 (дифференцируемость решения по параметру). I. Пусть
функция f (t, у, /и) и ее производные — и — непрерывны в области G.
ду д/л
Пусть y = (p{t,/u) - решение уравнения у'= f(t,y,/i), удовлетворяющее начальному условию <p(t0,/i) = y0 и определенное при a<t<fi,
\/л-/л01 <сг. Тогда не только (pit,/л), но ее частная производная
dju
непрерывна при тех же значениях I и /л, при этом функция
u(t) = —определяется как решение задачи Коши ди
u'(t) = ^-u{t) + ^~ , u(t0) - 0 . (8)
ду dju
II. Если функция f и ее производные до р -го (р > 2) порядка по у и /I непрерывны в G, то решение y = (p(t,ju), определенное при a <1 < (3,
| /л- /л0 | < сг, имеет непрерывные по t и /л производные по /л до порядка р включительно при всех тех же значениях t и /л .
Доказательство. В силу теоремы 2 функция (pit,/и) непрерывна при a<t<fi, \/и-/и0\ < cr. Пусть /и - любое, но фиксированное число из промежутка | /л -//01 < сг, а 8 такое, что (//-<!>,// + <!>) с: (//0-сг,//0+сг). Пусть приращение А/л, к точке /л такое, что | А/л | < 8 . Тогда
(P't(t,/i) = f(t,<p(t,/л),/л),
(р\ (t, /л + А/и) = f(t, cp(t, /и + А/и), /и + А/и) .
Вычитая из второго равенства первое, получим
~г\^Ф\ - fit, (pit, ft) + Л<р,ц + Aft) - fit, (pit, ft), ft), (9)
at
где Acp = (pit, ft + Aft) - (pit, ft). Для преобразования разности в правой части (9) докажем следующее утверждение, принадлежащее Адамару1.
Лемма Адамара. Пусть функция ф{х) = q>ixl,x2,...,xn) е C](D), где
D- выпуклая область R". Тогда для любых точек х = (х,, х2, ..., хп),
х+/1х = (х, + Ахх, х2+Ах2, xn + Axn)e D справедливо равенство
П
<р(х + Ах)- <р{х) = ^Р^х,Ах)Ах;,
1 = 1
F,(x,Ax)= (д^х+,А^Л.
о dxi
Доказательство. Уравнение отрезка между точками х и х + Дх можно записать в виде z(t) = x + tAx, 0<t<l. Введем в рассмотрение функцию ц/it) = (pix + tAx), которая в силу выпуклости области D определена при
О < t < 1. Тогда
(р(х + Ах)-<р{х) = y/i\)-y/{Q) = dt = d(Pix + tAx) дх^ _
о dt 0 i=1 dx,
-Z Ax.^F^Ax,.
mVo dxi J Замечание 1. Отметим, что в силу непрерывности частных производных d(p/dxt в области D имеем
d(pix)
Применяя к правой части равенства (9) лемму Адамара, получим
И
- [ Аф] = F, it, /л, Aft) Аф + F2 it, ft, A ft) A ft,
dt
где F^t^^fi), г = 1,2, - непрерывные функции от t, (pit, ft), (pit,ft + Aft), ц и ft + Aft и в конечном счете зависят от t, fi и Aft и непрерывны по t и Aft, так как ft считается фиксированным. Разделив последнее равенство на А//* 0, получим для определения A(p/Aju линейное уравнение первого порядка
1 Адамар Жак Соломон (1865 - 1963) - известный французский математик, иностранный член АН СССР.
d_
dt
f а Л
Аф
yA/i;
= Fl(t,/i,A/i)^- + F2(t,/i,A/i). (10)
Aju
Дф
Итак, функция —- нами определена при А/и Ф 0 как решение уравнения (10). А/л
Определим ее и при А/и = 0 так, чтобы она удовлетворяла уравнению (10) и при t = t0 обращалась в нуль. Правая часть уравнения (10) непрерывна по t и А/и и
Аф
имеет ограниченную производную по —Тогда существует единственное
А/и
решение z = y/(t,/u,A/i) задачи Коши:
z> — Fx(t,/i,A/S)z + F2(t,/i,A/u), z(t0) = i//(t0,/и,A//) = 0.
По теореме 2 функция i//(t,/u,A/u) непрерывна при a<t<p, \ /и- /и0 \ <а, I А/и | <8. С другой стороны,
Лф
Л/л
<p(t0,/i + A/i)-(p(t0,/i) _у0-у0 _Q Л/и Л/1
и в силу теоремы единственности при А/и Ф 0
~~ = Pit,/I, А/и).
A/i
Переходя здесь к пределу при А/и —» 0, получим
д<Р^’^ = lim = lim y/(t,/i,A/i) = y/{t,/i,0).
д/и Ди->0 ДjU
Отсюда следует существование и непрерывность частной производной
d(p(t,/i)
д/и
при a <t < Р, \/и-/и0 \ <<т. Кроме того, в силу замечания 1
Fx{t,/л,А/и) и при А/л^О.
д/и д/и
Тогда переходя к пределу в равенстве (10) при А/и —» 0 получим, что функция u(t) есть решение задачи (8).
II. Если функция / имеет непрерывные производные по у и /л до р-\о порядка включительно (р>2), то применив к уравнению из (8) те же
дер
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed