Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть у = (р (х), хх < х < х2 - огибающая семейства интегральных кривых
уравнения (1). Покажем, что ср(х) является решением уравнения (1). Пусть (хо’Уо)' <Р(хо) = Уо ~ произвольная точка огибающей. По определению огибающей, через точку (х0,у0) проходит интегральная кривая у = у/(х) из
семейства интегральных кривых (37), которая касается огибающей в этой точке. Тогда
<Р(хо) = У'(хо)> <Р'(Хо) = ^'Оо). F(x0, i//(x0), ц/'(х0)) = 0 .
Отсюда имеем
F(x0, <р(х0),<р'(х0)) = 0. (38)
Это означает, что функция у = <р(х) в точке х0 удовлетворяет уравнению (1). Поскольку х0 - произвольная точка из (х,, х2), то равенство (38) означает, что
у = ср{х) является решением уравнения (1) на интервале (х,, х2).
Как найти огибающую семейства интегральных кривых (37) уравнения (1)? Из курса геометрии известно следующее утверждение.
Теорема 4. Если кривая у = (р(х) является огибающей семейства кривых (37), то функция <р(х) удовлетворяет условиям
Ф(х, у, с) = 0, Ф'Дх, у, с) = 0. (39)
Однако, как показывают примеры, обратное утверждение неверно: не всякая кривая, удовлетворяющая уравнениям (39), будет огибающей семейства интегральных кривых (37). Поэтому для отыскания огибающей семейства интегральных кривых (37) находят все кривые, удовлетворяющие уравнениям (39), и проверяют, какие из них будут огибающими.
Пример 8. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнения
ху = су-с1. (40)
Решение. Для нахождения особого решения уравнения необходимо найти огибающую семейства кривых (40). Для этого составим систему
j Ф(х, у, с) - ху-су + с2 =0,
[Ф'(х,у, с) = -у + 2с = 0 .
Из данной системы, исключая параметр с, получим
у = 4х, у = 0. (41)
Теперь проверим, являются ли кривые из (41) огибающими семейства (40). Очевидно, прямая у = 0 не является огибающей семейства (40). Пусть
(х0,у0) - произвольная точка прямой у = 4х, т.е. у0 =4х0. Покажем, что из семейства (40) можно выделить кривую, которая касается прямой у = 4х в точке (х0,у0). Для этого напишем условие касания:
У(*о) = —— = 4хо’ У'(хо)= ; ° V = 4’ с-х0 (с-х0)
где у =-----получена из семейства (40). Решая эту систему относительно с,
с-х
находим с=2х0. Значит, при каждом х0 кривая у = 4х в точке (х0, 4х0) касается одной из кривых семейства (40), для которой с= 2х0. Таким образом, кривая у = 4х является огибающей семейства (40), и стало быть особым решением уравнения, для которого семейство (40) является общим интегралом.
§ 5. Зависимость решения от начальных условий, правой части и параметров
До сих пор мы определяли решение уравнения у = fix,у), проходящего через заданную фиксированную точку (х0,у0) области задания функции f(x,y). Если изменять точку (х0,у0), то будет меняться и решение. В
приложениях возникает важный вопрос: как при этом будет меняться это решение. Действительно, если рассматриваемая физическая (или другая) задача сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию у(х0) = у0, то эти значения х0 и у0
обычно определяются из опыта приближенно. Найденное решение задачи Коши представляет мало интереса для приложений, если незначительные погрешности в измерении у0 могут привести к сильным изменениям решения у(х) дифференциального уравнения. При моделировании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений всегда приходится выделять наиболее существенные стороны изучаемого процесса и отбрасывать остальные как несущественные. Поэтому реальный процесс описывается дифференциальным уравнением и начальным условием приближенно. Следовательно, крайне важно выяснить влияние на поведение решения задачи Коши малых изменений начальных условий, правой части и параметров, входящих в правую часть.
Теорема 1 (непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части). Если правая часть дифференциального уравнения
x’ = f(t,x) (1)
непрерывна в области D с: R1 и удовлетворяет там по переменной х
условию Липшица, то для всякой точки (t0 ,х0 )е D найдется максимально
широкий сегмент I = [а, (3\, a <t0 < /3, на котором существует
единственное решение х = (pit) уравнения (1), удовлетворяющее начальному
условию x(t0) = х0, и это решение непрерывно зависит от правой части
f(t,x) и начального значения х0, т.е. для любого s > 0 найдется такое
S > 0, что для решения y(t) любой другой задачи Коши: у'= g(t, у),
У(?о) = Уо’ в которой git,у) непрерывна и удовлетворяет по переменной у
условию Липшица в области D и | fit, у) — g(t, у) | < 8 при (t,y)eP = {(t,y)eD | a<t < Д, \ y-(p(t)\<d}, \x0-y0\<S, решение
ХО однозначно определяется на отрезке [а, Д] и при всех I е [а, Д] удовлетворяет неравенству | ХО - <p(t) \ < е .
