Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 5. Рассмотрим дифференциальное уравнение
г
у' = уъ +а, а Ф 0. (31)
В этом примере прямая у = 0 снова представляет геометрическое место точек, где производная /' обращается в бесконечность. Поэтому на у = 0 не
выполняется условие Липшица, но тем не менее прямая у = 0 не является
особым решением уравнения (31).
Таким образом, чтобы найти особое решение уравнения (29), надо найти геометрическое место точек, где не выполнено условие Липшица (т.е. те точки, где df /ду бесконечна). Если это геометрическое место точек образует одну или несколько кривых, надо проверить, являются ли эти кривые интегральными кривыми уравнения (29) и нарушается ли в каждой их точке свойство единственности; если оба эти условия выполнены, то найденная кривая представляет особое решение уравнения (29).
Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка общего вида (1):
F(x, у, /) = 0.
Особым решением уравнения (1) называют решение у = <р(х) уравнения
(1), если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение уравнения (1), имеющее в этой точке ту же касательную, что и
решение у = <р(х), и отличное от него в любой окрестности этой точки. Интегральную кривую, соответствующую особому решению, называют особой интегральной кривой уравнения (1).
Теорема 2. Если функция у = ф(х) является особым решением уравнения (1), то она удовлетворяет уравнениям
F(x,y,y') = 0, F;(x,y,y') = 0, р = у'. (32)
Доказательство. Поскольку у = ф(х) - решение уравнения (1), то
F(x, ф(х), <р\х)) = О, т.е. функция <р(х) удовлетворяет первому из уравнений (32). Пусть (х0, у0), где у0 =(р(х0) - произвольная точка особой интегральной кривой. Покажем, что F'p (х0, ф(х0), ф\хо)) = 0. Предположим, что
Fp(*о> Уо’ Уо)*0>
где
У0 = <Р(х0)> Уо=(Р'(хо)- (33)
Тогда в силу теоремы 1 через точку (х0, у0) проходит единственная интегральная кривая, удовлетворяющая условиям (33), чего быть не может, так как у = ф(х) - особое решение уравнения (1).
Уравнения (32), вообще говоря, определяют одну или несколько кривых, которые называются дискриминантными кривыми уравнения (1). В силу теоремы
2 каждое особое решение уравнения (1) является дискриминантной кривой этого уравнения. Обратное утверждение не верно: не всякая дискриминантная кривая является особым решением. Поэтому для нахождения особых решений уравнения (1) необходимо найти все дискриминантные кривые уравнения (1) и выделить среди них те, которые являются особыми интегральными кривыми.
Пример 6. Найти особое решение дифференциального уравнения
у,2-(2х + у)у' + 2ху = 0. (34)
Решение. В этом случае F(x, у, у') = у'2 ~(2х + у)у' + 2ху. Отсюда
находим F'., и составим систему
|у'2-(2х + у)у' + 2ху = 0,
\2у' - (2х + у) = 0.
Из этой системы, исключая у', получим дискриминантную кривую данного уравнения (34):
(Щу]-<2х + у)Щ* + 2ху.О
ИЛИ
%ху-(2х + у)2 = 0 о (у-2х)2 =0 <=> у = 2х . (35)
Найденная дискриминантная кривая (35) не является интегральной кривой
уравнения (34). Следовательно, уравнение (34) не имеет особых решений.
Пример 7. Найти особое решение дифференциального уравнения
У2 = у
<=> у = 0.
Решение. Снова составляем систему
\F{x, у, у') = у'2-у = 0,
У, у') = 2у' = 0
Итак, у = 0 является дискриминантной кривой уравнения (36). Легко заметить,
что у = 0 является решением уравнения (36). Теперь покажем, что это решение
особое, т.е. его касаются в каждой точке другие решения уравнения (36). Для этого решим уравнение (36):
у' = + 4у, у>0, dy f + x + cY
fy ~У = { 2 J’
Прямая у = 0 касается семейства парабол (рис. 2).
Следовательно, у — 0 является особым решением уравнения (36).
Рис. 2
Укажем еще один метод нахождения особых решений, который требует наличия общего интеграла дифференциального уравнения. Пусть общий интеграл уравнения (1) имеет вид
Ф(х,у,с) = 0. (37)
Уравнение (37) представляет собой однопараметрическое семейство кривых.
Кривая у называется огибающей семейства кривых (37), если в каждой своей точке она касается одной из кривых семейства (37) и если в разных точках она касается разных кривых.
Теорема 3. Кривая у = (р(х) является особым решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда она является огибающей семейства интегральных кривых (37) данного уравнения.
Доказательство. Если кривая у = ф(х) - особое решение уравнения (1), то в каждой своей точке она касается другого решения. Следовательно, эта кривая является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).
