Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
решение уравнения Лагранжа в параметрической форме
\х = Я (р, с),
I (21)
[у = р(р)Л(р, с) + <р(р).
Если из системы (21) удается исключить параметр р, то получим общий интеграл уравнения Лагранжа в форме Ф(х,у,с) = 0 .
Случай (р{р) = р надо рассмотреть отдельно. В этом случае из (19) уже нельзя получить уравнение (20).
Пример 3. Решить уравнение Лагранжа
у = 2у'х + у'2. (22)
Решение. Введем параметр у' = р. Тогда получим
у = 2рх + р2. (23)
Дифференцируя (23) по х, имеем
или
& = р = 2р + 2х*е- + 2р&
dx dx dx
* + 1* = -2. (24)
dp p
Решение уравнения (24) определяется формулой
с 2 р
Подставляя это в (23), находим
х _ _ Р^_
р2 3
2
2 с р
У =--------^
Р 3
общее решение уравнения (22) в параметрической форме. Кроме этого решения, имеется еще одно решение у = 0.
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно получается из него при ф(р) = р и имеет вид
у = рх + у/(р), (25)
где Ц/(р) - данная дифференцируемая функция. Дифференцируя обе части (25) по л:, получаем
dy dp dp
— = Р = Р + х— + у/{р) — dx dx dx
или
[x+vXp)] — = о.
ах
При dp/dx = О получаем /> = c = const и, подставляя это в (25), находим общее решение
у = сх + ц/(с). (27)
Итак, общее решение уравнения Клеро получается из самого уравнения Клеро заменой р = у' на произвольную постоянную с. Решение (27)
геометрически представляется семейством прямых от одного параметра с .
Пусть теперь х + ц/'(р) = 0. Отсюда х = - у/'(р) и, подставляя в (25), находим решение уравнения Клеро в параметрической форме
\х = - Ц/'(р),
\ (28)
[у = -рц/'(р) + Ч/(р).
Решение (28) не содержит произвольной постоянной и оно не получается из общего решения (27). Если существует отличная от нуля вторая производная if/"(p), то можно показать, что кривая (28) является огибающей для
однопараметрического семейства кривых (27). Поэтому кривая (28) будет особой интегральной кривой для уравнения Клеро.
3. Особые решения. Сначала рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
У'= fix, У). (29)
Как нам известно, по теореме 1 § 3, если / (х,у) непрерывна в области
D с R2 и имеет в ней ограниченную производную по у, то через каждую
точку (xQ,yQ)eD проходит единственная интегральная кривая (свойство единственности). Эта кривая входит в семейство от одного параметра (за параметр мы принимаем _у0) и получается из этого семейства, когда параметр
принимает определенное числовое значение.
Особым решением уравнения (29) назовем такое решение уравнения (29), которое во всех своих точках не удовлетворяет свойству единственности, т.е. в любой окрестности каждой точки (х,у) особого решения существует по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Теорема 1 § 3 дает достаточное условие для того, чтобы в некоторой окрестности не существовало особых решений. Следовательно, для существования особого решения необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы 1 § 3. В частности, если правая часть уравнения (29) непрерывна в D, то особые решения могут проходить только через те точки, в которых не выполняется условие Липшица. Очевидно, что условие Липшица не выполняется в тех точках, где частная производная df /ду не ограничена. Пример 4. Рассмотрим уравнение
2
У = у~ъ. (зо)
правая часть f(x,y) = y3 непрерывна на i?2, но частная производная fy = 2/з \[у обращается в бесконечность при у = т.е. на оси Ох. Решая уравнение (30), получим его общее решение
( Jt + cY
семейство кубических парабол. Кроме того, решением уравнения (30) является функция у = 0. Это решение особое, так как через каждую точку оси Ох проходит кубическая парабола и прямая у — 0 (рис. 1).
