Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5. Если функции at (х) и Ь(х) непрерывны на сегменте [а, /?],
то для любой точки (х0, у0, у'0, у”0,..., У"_1)) из области G существует единственное решение у{х) уравнения (24), определенное на всем сегменте \а, /3] и удовлетворяющее начальным условиям (21).
§ 4. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения
1. Задача Коши. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка общего вида
F(x,y,y') = 0, (1)
где функция F(x, У > Р), p = y' = dy/dx, непрерывна и имеет частные
производные F'y и F'p в некоторой области DcRlyp. Если уравнение (1)
удается разрешить относительно у', то получим одно или несколько
дифференциальных уравнений
y'=fk(x,y), keN . (2)
Пусть функции /*(х, у) в некоторой окрестности точки (х0,у0), где
(х0, У0, y'0)^D , У - корень уравнения F(x0, у0, У) = 0 , удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши (см. §2 теорему 1). Тогда через точку (х0, j/0) проходит по одной и только одной
интегральной кривой ук(х) каждого из уравнений (2). Все эти интегральные кривые являются решением исходного уравнения (1). Направление вектора касательной к интегральной кривой ук(х) уравнения (2) в точке (х0,у0)
определяется значением fk(x0,y0). Если эти значения различны, то через
точку (х0,у0) проходит столько интегральных кривых (1), сколько число
уравнений (2). Поэтому, чтобы выделить определенное решение уравнения (1), надо взять не только начальное условие у(х0) = у0, но и значение производной
решения у'(х0) = у'0. Ясно, что число у'0 не может быть задано произвольно, а у'0 должно быть корнем уравнения F (х0, у0, у'(х0)) = 0.
Таким образом, задача Коши ставится так: найти решение у(х) уравнения (1), удовлетворяющее условиям :
У(х0) = У0. у'(х0) = у'0, (3)
где х0,у0,у'0 связаны равенством F(x0, у0, у'о) = 0.
Теорема 1. Если в любой точке (х0, у0, у'0) е D, где F(х0, у0, у'0) = О, выполнено условие
К(хо> Уо> Уо)*0’ (4)
то в некоторой окрестности точки х0 существует единственное решение задачи Коши (1) и (3).
Доказательство. По условию функция F(x,y,p) непрерывна в области
D и имеет там непрерывные частные производные F'y и F', причем в точке
(Хо,Уо>Уо) производная F'(x0,y0,y'0) Ф 0. Тогда в силу теоремы о неявной функции (см. гл.1, § 17, п.1) уравнение (1) можно единственным образом разрешить относительно у' = / (х, у) в некоторой окрестности точки (х0, _у0),
т.е. F(x,y,f(x,y)) = 0, причем у'0 = f(x0,yQ). При этом можно указать замкнутый прямоугольник Р с центром в точке (х0,^0), в котором функция f(x,y) непрерывна вместе с частной производной
dF(x,y,f(x,y))
ду dF(x,y,f(x,y)) '
dp
Но это означает, что функция f(x,y) на Р удовлетворяет условию Липшица по переменной у . Тогда в замкнутой области Р выполнены условия теоремы 1 § 3, поэтому можно указать сегмент [х0 ~h,x0 + h], на котором существует единственное решение у(х) уравнения y'-f(x,y), удовлетворяющее условию у(х0) = у0. Это решение удовлетворяет уравнению (1) и условиям (3).
261
Отметим, что если интегральные кривые уравнений (2), пересекающиеся в точке (х0,у0), имеют общую касательную в этой точке, направление которой
определяется значением у'0, то в этой точке будет нарушено условие (4).
Пример 1. Рассмотрим уравнение, не разрешенное относительно
производной
у'2-(2х +у)у'+ 2х у = О . (5)
Решение. Разрешая уравнение (5) относительно у', получим два
уравнения
У = у и у'= 2х. (6)
Правые части fx (х,у) = у и f2(x,y) = 2х удовлетворяют условиям теоремы 1 §3 на плоскости R2. Тогда через любую точку (xQ,yQ)e R2 проходят единственные интегральные кривые из семейств :
у = Схех и у = х2 +С2. (7)
В силу (6) в точках прямой у = 2х кривые семейств (7) имеют общую касательную. Эта прямая представляет собой геометрическое место точек, в которых нарушено условие (4):
dF
ду
= 2у -2х-у = 0.
у=2х
Теорема 1 при выполнении определенных условий гарантирует возможность сведения уравнения (1) к уравнению вида (2) и разрешимость последнего. Однако практическая реализация этой возможности часто вызывает значительные трудности. Поэтому в ряде случаев удается интегрировать уравнение (1) методом введения параметра. Пусть дано уравнение (1)
F(x, у, y') = F(x, у, р) = 0. (8)
Если х, у , р будем рассматривать как декартовы координаты в пространстве
