Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
производные по переменным ух, у2, ..., уп:
Следовательно, правые части f системы линейных уравнений (19) на G удовлетворяют условию Липшица по переменным ух, у2, ..., уп. Значит, для системы (19) справедлива теорема 2, т.е. система (19) имеет единственное решение ух(х), у2(х),..., у„(х), принимающее при х = х0, где а <х0 < /3 , начальные значения (17). Это решение определено на сегменте [х0 - h, х0 + h] с [а, /?]. Оказывается, что в случае линейной системы (19) указанное решение определяется во всем сегменте [а, /?].
Теорема 3. Если функции ау {х), bt(x) непрерывны на сегменте [а, /?], то для любой точки (х0, у{0), у20), ¦¦¦, у!,0>) из G существует единственное решение ух(х), у2(х),..., уп(х) системы (19), определенное во всем сегменте [а, /?] и удовлетворяющее при х = х0 начальным условиям (17).
3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения п - го порядка
Рассмотрим уравнение п - го порядка, разрешенное относительно старшей производной
y(n)(x) = F(x, у, У, у\ ..., У*\ ..., У-”), (20)
где функция F(•) определена в области D пространства Rn+1 переменных х, у, у', у", Ул1\ у = у(х) - неизвестная функция, у(к\х) - производная к - го порядка неизвестной функции у(х), к = 1, п .
Задача Коши. Пусть задана точка (х0, Уо’Уо’Уо’-’Уо^-’Уо^) из области D. Требуется найти решение у(х) уравнения (20), удовлетворяющее начальным условиям:
У(х0) = у0, у'(х0) = у'0, /п~1)(х0) = уГ1) (21)
или
ут Ы = у1>,,)< = оГ^. ут(х) = у(х),уГ=Уо-
Для доказательства существования и единственности решения задачи Коши (20) и (21) удобно заменить уравнение (20) соответствующей эквивалентной нормальной системой относительно новых искомых функций. В самом деле, пусть у(х) - решение уравнения (20). Введем новые неизвестные
функции ух(х), у2(х)... У„(х) по формулам:
У\(*) = У(х), у2(х) = у'(х), у3(х) = у"(х)уя(х) = У"’4(х).
Отсюда и с учетом уравнения (20), получим
У2 = у" (х) = Уз(х)>
¦ ................................. (22)
у'_, =У(п~1\х) = уп(х),
у'п =y(n)(x) = F(x, yt, у2, ... ,уп).
Обратно, если функции ух(х), , ..., уп(х) являются решением
нормальной системы (22), то нетрудно показать, что функция у(х) = у{(х) является решением уравнения (20). Итак, уравнение (20) и система уравнений
(22) эквивалентны. Тогда задача Коши для уравнения (20) эквивалентна задаче Коши для нормальной системы (22) с начальными условиями :
У2(хо) = Уо< ¦¦¦¦ Уп(хо) = Уо~1) ¦
Поскольку система уравнений (22) является частным случаем более общей нормальной системы (16), то на основании теоремы 2 можно получить следующий результат.
Теорема 4. Если функция F(х, у, у, у",..., У"-0) непрерывна в области D и по переменным у, у', у",..., у(п~х) удовлетворяет в этой области условию Липшица, то для любой точки (х0, у0, у'0,..., у(0"'])) области D существует число h > 0, такое, что на сегменте [х0 - h, х0 + К] существует единственное решение у(х) уравнения (20), удовлетворяющее при х = х0 заданным начальным условиям (21).
Определение 6. Общим решением уравнения (20) в области D называется функция
у = (р(х, Ср С2, ... , С„), (23)
которая зависит от переменной х и от п произвольных постоянных Ср С2,..., Сп, если выполнены следующие условия :
1) она удовлетворяет уравнению (20) при любых допустимых значениях постоянных Ср С2,..., С„;
2) какова бы ни была точка (х0, у0, у'0, у"(),..., y(0n i)) из области D,
можно найти такие значения постоянных С, = С0, С2 =С'0, ..., Сп= С(0пА), что функция (23) удовлетворяет начальным условиям (21):
<р с„, с;,..., с'"~п) = у0.
Если соотношение, связывающее х, у и п произвольных постоянных, дается в виде, не разрешенном относительно у :
Ф(х, у, С„ С2,..., с„) = 0,
то такое соотношение называют общим интегралом уравнения (20).
Рассмотрим теперь частный случай уравнения (20), а именно линейное уравнение п - го порядка
у(п) + flj(х)У"_1) + ... + а„_,(х)у' + an(x)y = b(х) , (24)
где у = у(х) - искомая функция, ai(х) и Ь(х) - известные функции и будем считать, что они определены и непрерывны на сегменте [«, /?]. При этом а,(х) называются коэффициентами, а 6(х) - свободным членом линейного уравнения (24).
Аналогично (20) можно показать, что уравнение (24) эквивалентно следующей нормальной системе линейных уравнений
У1=У2(х) ,
У'2=Уз(х) >
¦ ............................................. (25)
У'п-Х = Уп(Х) >
. у'п = Ь (*) - an W У1 - ап~Х W У2 - ¦'¦'¦ - а\ (Х)Уп ¦
Система (25) является частным случаем линейной нормальной системы (19). Тогда из теоремы 3 вытекает справедливость следующего утверждения.
