Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Строгое математическое определение устойчивости состояния равновесия для рассматриваемого нами случая, когда система
описывается одним дифференциальным уравнением вида
= /(*), выглядит следующим образом.
Состояние равновесия х=х устойчиво по Ляпунову, если, задав сколь угодно м^лое положительное е, всегда можно найти такое 6; что
]*(?)— *|<е для t0^t< + oo (1.1—2)
если [д;(^о)—*|<6- Иначе говоря, для устойчивого состояния равновесия справедливо утверждение: если в момент времени t0 отклонение от состояния равновесия мало ([ л: (^о) —х | <б), то в любой последующий момент времени t>t0 отклонение решения системы от состояния равновесия будет также мало (|*(0—я|<е).
Посмотрим теперь, как можно определить, устойчиво или дё-устойчиво состояние равновесия исследуемой системы. Ляпунов дал аналитический метод исследования устойчивости состояния равновесия, который мы кратко изложим. Пусть наша система отклонилась от точки равновесия х и перешла в соседнюю с ней точку х. Положим х=х+1, где | —¦ малое отклонение от состояния равновесия, такое, что По нашему предположе-
нию, f(x) — аналитическая функция. Перейдем от переменной х к переменной | в уравнении (1.1—1), подставив туда х=х+%. Получим
Стоящую в правой части этого уравнения функцию f{x+1) разложим в ряд Тейлора в точке х:
dt
(1.1-3)
-f-=/(*>+/' W5+y^W61+-- - •
Так как /(*)= 0, то уравнение (1.1—3) примет вид
-%-=а11 + а& + а?+...,'
at
(1.1-4)
где
= /'(*). а1 = -уГ(х) и т- Д-
Отбросим в уравнении (1.1—4) нелинейные члены как величины; более высокого порядка малости. Мы получим тогда линейное-уравнение:
‘ (1.1-5).-
dt .
которое носит название линеаризованного уравнения или уравне-ния первого приближения. Интеграл этого уравнения для %(t) находится сразу:
l(t)=ceu, где Я = а, =/'(*).
Если Х<0, то при t-*-оо ?->0, а следовательно, первоначальное отклонение ? от равновесия со временем затухает. Таким образом,., стационарное решение х=х уравнения (1.1—1) устойчиво по Ляпунову. Если 1>0, то при t-*-оо \-*-оо и исходное состояние равновесия неустойчиво. Если А,=0, то уравнение первого приближения, вообще говоря, не может дать ответа на вопрос об устойчивости исходной системы. Таким образом, метод Ляпунова позволяет по знаку производной f(x) правой части исходного уравнения получить правильный ответ на вопрос об устойчивости его-точек равновесия.
Аналогичные рассуждения будут полезны при рассмотрении более сложных динамических систем. В случае одного уравнения-, нетрудно, исследуя непосредственно характер функции / (а:)-*Вблизи состояния равновесия х=х, однозначным образом решить вопрос об устойчивости состояния равновесия.
По определению в особой точке функции f(x)
f(x) = — w dt
обращается в нуль. Здесь возможны три различных случае (рис. 1.5, а—в). <
1. Вблизи состояния равновесия х=х f(x) меняет знак с плюса на минус при возрастании х (см. рис. 1.5,а).
Такое изменение знака f(x) в точке х=х означает, что при
х<х скорость изменения =f(x) положительна. При этом х
dt
увеличивается, т. е. стремится к х. При *>* =/(*)<о,.
dt
т. е. х уменьшается и опять стремится к х. Отсюда следует, что-
изображающая точка, находящаяся в достаточной близости от
состояния равновесия х=х, будет асимптотически к нему приближаться при возрастании t. Ясио, что в этом случае состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.
kf(x)
I
№)
x
Рис. 1.5. Характер устойчивости особой точки в зависимости от знака функции fx'(x): а — устойчивая
особая точка, б, в — неустойчивые точки
2. f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х=х с минуса на цлюс при возрастании х (см. рис. 1.5,6). Проводя аналогичные рассуждения, легко увидеть, что изображающая точка, помещенная в достаточной близости к состоянию равновесия, будет удаляться от него. Отсюда следует, что в этом случае состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.
3. f(x) не меняет знака вблизи состояния равновесия при возрастании х (рис. 1.5, в). Это значит, что изображающая точка, помещенная достаточно близко к положению равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему, помещенная с другой — удаляться. Ясно, что состояние равновесия является неустойчивым по Ляпунову.
Для рассматриваемого случая критерий устойчивости можно сформулировать еще более кратко. Перенесем начало координат в точку х = х. Тогда для устойчивости стационарного состояния х необходимо, чтобы х и f(x) по обе стороны от положения равновесия были разных знаков. Когда же / (*)=и х одного
